Trace et transposée de matrice/Exercices/Propriétés de la trace

Exercice 1-1

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $h:\mathrm {M} _{n}(K)\to E$ une application linéaire invariante par similitude, c'est-à-dire telle que pour toutes matrices $A,P\in \mathrm {M} _{n}(K)$ avec $P$ inversible, $h(P^{-1}AP)=h(A)$.

1. Montrer que si $i\neq j$ alors $h(E_{i,i}+E_{i,j})=h(E_{i,i})=h(E_{1,1})$, où $E_{i,j}$ est la notation usuelle pour les $n^{2}$ matrices de la base canonique de $\mathrm {M} _{n}(K)$.
2. En déduire qu'il existe $e\in E$ tel que $\forall A\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad h(A)=\operatorname {tr} (A)\,e$.
3. En déduire que si $f:\mathrm {M} _{n}(K)\to E$ est une application linéaire vérifiant $\forall A,B\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad f(AB)=f(BA)$, alors il existe $e\in E$ tel que $\forall A\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad f(A)=\operatorname {tr} (A)\,e$.

Solution

1. Les matrices $E_{i,i}+E_{i,j}$ (pour $i\neq j$), $E_{i,i}$ et $E_{1,1}$ sont semblables car elles ont une droite propre pour la valeur 1 et supplémentaire de leur noyau (elles sont mêmes semblables par des matrices de passage inversibles dans les matrices à coefficients entiers).
2. Soit $e=h(E_{1,1})$. Pour toute matrice $A=\sum a_{i,j}\,E_{i,j}$, on a $h(A)=\sum a_{i,j}\,h(E_{i,j})=\sum a_{i,i}\,e=\operatorname {tr} (A)\,e$.
3. Une telle application $f$ vérifie en particulier (pour toutes matrices $A,P\in \mathrm {M} _{n}(K)$ avec $P$ inversible) $f(P^{-1}AP)=f(APP^{-1})=f(A)$, ce qui permet d'appliquer la question précédente.

Référence : Bourbaki, Algèbre, p. II.158, prop. 8.

 

Exercice 1-2

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$. Existe-t-il $A,B\in \mathrm {M} _{n}(K)$ telles que $AB-BA=\mathrm {I} _{n}$ ?

Solution

Non car $\operatorname {tr} (AB-BA)=0<n=\operatorname {tr} (I_{n})$.