Transformée de Laplace/Définitions

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Transformation de Laplace

Transformation de Laplace directe

Soit $\displaystyle f$ une fonction (réelle ou complexe) généralisée de la variable réelle $t$ définie sur $\displaystyle \mathbb {R}$.

On définit la transformée de Laplace $\displaystyle F$ de $\displaystyle f$ de la manière suivante :

$F(p)={\mathcal {L}}(f(t))(p)=\int \limits _{0^{-}}^{+\infty }f(t)e^{-pt}dt$

Remarque : $F$ est une fonction (réelle ou complexe) de la variable complexe $p$. En effet, $p\in \mathbb {C}$

Pour que l’intégrale précédente converge, il faut qu’il existe deux constantes $M$ et $a$ telles que le signal soit majoré en amplitude par une exponentielle décroissante : $|f(t)|<M\cdot \exp(-at)$ , pour tout $t$

On peut alors définir la transformée de Laplace inverse.

Transformation de Laplace inverse

Transformation de Laplace Inverse

Soit $\displaystyle F$ une fonction (réelle ou complexe) définie sur $\displaystyle \mathbb {C}$.

On définit la transformée de Laplace Inverse $\displaystyle f$ de $\displaystyle F$ de la manière suivante :

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}(F(p))(t)={1 \over 2\pi j}\int \limits _{\gamma -j\infty }^{\gamma +j\infty }F(p)e^{pt}dp$

La fonction $f$ est alors une fonction (réelle ou complexe) de la variable réelle $t$. Elle est appelée l'original de $F$.

La constante $\gamma$ est choisie de telle sorte que l'intégrale soit convergente et que par conséquent, $F(p)$ tende vers 0 au voisinage de $+\infty$

À part en mathématiques, cette formule est rarement utilisée pour le calcul de l'original à partir de sa transformée. On préfère utiliser des tables ou des logiciels de calcul formel.

On utilise fréquemment l’équivalence $p=j\omega$, où $\omega =2\pi f$ est la pulsation du signal d’entrée. La variable $f$ correspond à la fréquence du signal. De ce fait, par abus de langage on dit que la transformée de Laplace d’un signal se situe dans le domaine fréquentiel, tandis que le signal appartient au domaine temporel.

Utilisation

Les transformées de Laplace sont notamment utilisées pour la résolution d'équations différentielles dont la résolution classique prend trop de temps.

Voir aussi

• Transformée de Laplace en physique dans le département Physique
• Systèmes du premier ordre