Transformée de Laplace/Définitions

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Transformation de Laplace

Transformation de Laplace

Soit $\displaystyle f$ une fonction définie sur $\displaystyle \mathbb {R} _{+}$ de la variable $\displaystyle t$. (La variable sera souvent temporelle, d'où l’utilisation de la lettre $\displaystyle t$). On définit la transformée de Laplace $\displaystyle F$ de $\displaystyle f$ de la manière suivante :

$F(p)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0}^{+\infty }e^{-pt}f(t)\,dt.$

Remarque : la nouvelle variable $\displaystyle p$ appartient quant à elle à $\displaystyle \mathbb {C}$.

Pour que l’intégrale précédente converge, il faut qu’il existe deux constantes M et a telles que le signal soit majoré en amplitude par une exponentielle décroissante : $|f(t)|<M\cdot \exp(at)$ , pour tout $t$

On peut alors définir la transformée de Laplace inverse.

Transformation de Laplace inverse

Transformation de Laplace Inverse

Soit $\displaystyle F$ une fonction définie sur $\displaystyle \mathbb {C}$. On définit la transformée de Laplace Inverse$\displaystyle f$ de $\displaystyle F$ de la manière suivante :

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(p)\}={\frac {1}{2\pi j}}\int _{\sigma -\infty }^{\sigma +\infty }e^{-pt}F(p)\,dp.$

À part en mathématiques, cette formule est rarement utilisée pour le calcul de la transformée de Laplace inverse. On lui préfère l’utilisation de tables.

On utilise fréquemment l’équivalence p = jω, où ω est la fréquence du signal d’entrée. De ce fait, par abus de langage on dit que la transformée de Laplace d’un signal se situe dans le domaine fréquentiel, tandis que le signal appartient au domaine temporel.

Utilisation

Les transformées de Laplace sont notamment utilisées pour la résolution d'équations différentielles dont la résolution classique prend trop de temps.

Voir aussi

• Transformée de Laplace en physique dans le département Physique
• Systèmes du premier ordre