Transformée de Laplace/Propriétés

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Propriété des transformées de Laplace

Linéarité

Linéarité de la transformation de Laplace

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb {R} _{+}$.

On a alors, pour tout couple de constantes α et β :

${\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\alpha {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\beta {\mathcal {L}}\{g(t)\}$.

Démonstration

${\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\int _{0}^{+\infty }(\alpha f(t)+\beta g(t))e^{-pt}\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{+\infty }\left(\alpha f(t)e^{-pt}+\beta g(t)e^{-pt}\right)\;\mathrm {d} t$.

Par linéarité de l'intégration, on en déduit :

${\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\alpha \int _{0}^{+\infty }f(t)e^{-pt}\;\mathrm {d} t+\beta \int _{0}^{+\infty }g(t)e^{-pt}\;\mathrm {d} t=\alpha {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\beta {\mathcal {L}}\{g(t)\}$.

 

Dilatation du temps

Pour un réel positif $k$, on a :

Je mémorise

${\mathcal {L}}(f(k\cdot t))={\frac {1}{k}}\cdot F({\frac {p}{k}})$.

Cette égalité se prouve en posant le changement de variable u = kt, du = kdt, dans le calcul de la transformée de Laplace.

Transformée de Laplace d’un signal retardé

La transformée de Laplace du signal x(t) retardé de τ est donnée par :

Je mémorise

${\mathcal {L}}(f(t-\tau ))=\exp(-p\cdot \tau )\cdot F(p)$.

Cette égalité se prouve en posant le changement de variable u = t − τ , du = dt, dans le calcul de la transformée de Laplace.

Transformée de Laplace d’un signal modulé

La transformée de Laplace du signal x(t), modulé par $e^{-at}$, est donnée par :

Je mémorise

${\mathcal {L}}(e^{(-a\cdot t)}\cdot f(t))=F(p+a)$.

Transformée de la dérivée

Transformée de Laplace d'une dérivée

Soit $f(t)$ une fonction dérivable de $\mathbb {R} ^{+}$ et $F(p)$ sa transformée de Laplace, on a alors :

${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=-f(0)+p\times F(p)$.

Plus généralement pour une fonction $n$ fois dérivable, si $f,f',f'',\cdots f^{(n-1)}$ s'annulent en $0^{+}$, on parle de conditions de Heaviside, et l'on a alors :

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {\mathrm {d} ^{n}f(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right\}=p^{n}\times F(p)$.

Début d'une démonstration

Démonstration

${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=\int _{0}^{+\infty }f'(t)e^{-pt}\;\mathrm {d} t$.

Par intégration par parties, on a :

$\int _{0}^{+\infty }f'(t)e^{-pt}\;\mathrm {d} t=[f(t)e^{-pt}]_{0}^{+\infty }-\int _{0}^{+\infty }f(t)(-p)e^{-pt}\;\mathrm {d} t=[f(t)e^{-pt}]_{0}^{+\infty }+p\int _{0}^{+\infty }f(t)e^{-pt}\;\mathrm {d} t$.

On sait que ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0}^{+\infty }f(t)e^{-pt}\;\mathrm {d} t$

donc ${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=-f(0)+p{\mathcal {L}}\{f(t)\}$.

Fin de la démonstration

Ces deux propriétés rendent la transformation de Laplace utile pour la résolution des équations différentielles.

Transformée de Laplace de la primitive d’un signal

La transformée de Laplace de l’intégrale d’un signal est donnée par :

Je mémorise

${\mathcal {L}}\{\int _{0}^{t}f(u)\cdot du\}={\frac {1}{p}}\cdot F(p)$.

Détermination de la valeur initiale d’un signal

La valeur initiale d’un signal peut être obtenue à partir de la transformée de Laplace du signal à partir de la relation :

Je mémorise

$\lim _{t\to 0}f(t)=\lim _{p\to \infty }p\cdot F(p)$.

Détermination de la valeur finale d’un signal

La valeur finale d’un signal peut être obtenue à partir de la transformée de Laplace du signal à partir de la relation :

Je mémorise

$\lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{p\to 0}p\cdot F(p)$

Transformée de Laplace d’un produit de convolution

Le produit de convolution de deux signaux h(t) et u(t) est noté h(t) * u(t) et est défini par :

$h(t)*u(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(t-\tau )\cdot u(\tau )\cdot d\tau$

La transformée de Laplace du produit de convolution de deux signaux est égale au produit usuel des transformées de Laplace des signaux :

Je mémorise

${\mathcal {L}}\{h(t)*u(t)\}={\mathcal {L}}\{h(t)\}\cdot {\mathcal {L}}\{u(t)\}=H(p)\cdot U(p)$

La transformée de Laplace transforme donc un produit de convolution en produit simple.

Exemples d’application

À titre d’exemple, calculons les transformées de Laplace des signaux d’excitation les plus utilisés : l’impulsion, l’échelon, et les fonctions cosinus et sinus

Transformées de Laplace usuelles

${\mathcal {L}}\{\delta (t)\}=1$ ;

${\mathcal {L}}\{\Upsilon (t)\}={\dfrac {1}{p}}$ ;

${\mathcal {L}}\{\cos(\omega t)\}={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}$ ;

${\mathcal {L}}\{\sin(\omega t)\}={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}$.

Démonstration

Les démonstrations se basent sur du calcul de primitives usuelles que l'on effectuera sans considérations mathématiques formelles.

• On rappelle que l'impulsion de Dirac $\delta (t)$ est définie par la fonction nulle presque partout, infinie en 0 (point concentrant toute la masse), et telle que son intégrale sur tout intervalle contenant 0 soit égale à 1. On a dès lors, par définition :
  ${\mathcal {L}}\{\delta (t)\}=\int _{0}^{+\infty }\delta (t)e^{-pt}\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{+\infty }\delta (t)e^{-p\times 0}\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{+\infty }\delta (t)\;\mathrm {d} t=1$.
  Cette formule peut être généralisée facilement au calcul de transformées de Laplace de fonctions composées avec l'impulsion de Dirac, voire sa translatée. Ainsi, la transformée de Laplace de $\delta (t-\tau )f(t)$ est $e^{-p\tau }f(\tau )$. La démonstration est laissée en exercice au lecteur.
• La fonction échelon de Heaviside $\Upsilon (t)$ est définie par la fonction nulle pour tout $t<0$ et unitaire pour tout $t\geq 0$. On a alors :
  ${\mathcal {L}}\{\Upsilon (t)\}=\int _{0}^{+\infty }\Upsilon (t)e^{-pt}\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{+\infty }e^{-pt}\;\mathrm {d} t=\left[-{\dfrac {1}{p}}e^{-pt}\right]={\dfrac {1}{p}}$.
• La transformée de Laplace de la fonction cosinus peut se calculer par une double intégration par parties. La première donne :
  ${\mathcal {L}}\{\cos(\omega t)\}=\int _{0}^{+\infty }\cos(\omega t)e^{-pt}\;\mathrm {d} t=\underbrace {\left[e^{-pt}{\dfrac {\sin(\omega t)}{\omega }}\right]_{0}^{+\infty }} _{0}+{\dfrac {p}{\omega }}\int _{0}^{+\infty }e^{-pt}\sin(\omega t)\;\mathrm {d} t$
  puis la seconde donne :
  ${\mathcal {L}}\{\cos(\omega t)\}={\dfrac {p}{\omega }}\left(\left[-e^{-pt}{\dfrac {\cos(\omega t)}{\omega }}\right]_{0}^{+\infty }-{\dfrac {p}{\omega }}\int _{0}^{+\infty }e^{-pt}\cos(\omega t)\;\mathrm {d} t\right)={\dfrac {p}{\omega ^{2}}}-{\dfrac {p^{2}}{\omega ^{2}}}{\mathcal {L}}\{\cos(\omega t)\}$,
  d'où l'on tire facilement le résultat voulu.
  La même méthode permet de montrer l'expression de la transformée de Laplace de la fonction sinus.