Transformée de Laplace/Exercices/Charge et décharge d'un condensateur

Dans le circuit ci-contre on se propose de rechercher grâce à la transformation de Laplace la fonction du temps donnant la tension v(t) au bornes du condensateur.

La force électromotrice f appliquée aux bornes du circuit est définie en fonction de t par :

${\begin{cases}f(t)=0&{\mbox{si }}t<0\\f(t)=E&{\mbox{si }}0\leq t<A\\f(t)=0&{\mbox{si }}A\leq t\end{cases}}$

où A et E sont des nombres réels strictement positifs.

L'équation différentielle qui régit le circuit s'écrit :

${\begin{cases}RC{\frac {dv}{dt}}(t)+v(t)=f(t)\\v(t)=0&{\mbox{pour }}t\leq 0\end{cases}}$

On rappelle que la fonction échelon unité U est définie par :

${\begin{cases}U(t)=0&{\mbox{si }}t<0\\U(t)=i&{\mbox{si }}t\neq 0\end{cases}}$

1. Représenter graphiquement la fonction de f et exprimer f à l'aide de la fonction échelon unité

2. Déterminée la transformée de Laplace de chacun des deux membres de l'équation . (On notera $V(p)={\mathcal {L}}\left\{v(t)\right\}$)

3. Montrer que : $V(p)=E\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p+{\frac {1}{RC}}}}\right)\left(1-e^{-pA}\right)$

4. En déduire les expressions de v(t) sur chacun des intervalles $\left]-\infty ,0\right[$, $\left[0,A\right[$, $\left[A,+\infty \right[$

5. Application numérique :

On donne R = 100 Ω, C = $10^{-2}$ F, A = 1 s, E = 1 V

6. Tracer alors le signal associé à la fonction v

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}