Transformée de Laplace/Exercices/Mouvement amorti

En physique, l'étude d'un mouvement amorti amène à considérer la fonction $t\mapsto f(t)$ telle que :

${\begin{cases}f(t)=0&{\mbox{pour }}t<0\\f''(t)+2f'(t)+2f(t)=e^{-t}&{\mbox{pour }}t\geq 0\\f(0)=1\\f'(0)=0\end{cases}}$

On suppose que la fonction f et ses dérivées admettent des transformées de Laplace. On note F celle de f

1. Déterminer, à l'aide de F, les transformées de Laplace de $f'$ et $f''$. En déduire celle de $f''+2f'+2f$.

2. Déterminer la transformée de Laplace de $t\mapsto U(t)e^{-t}$ où U est l'échelon unité.

3. Déduire de ce qui précède l'équation (E) vérifiée par la fonction F.

4. Déterminer les réels a, b, c tels que pour tout réel $p\neq -1$, on ait :

${\frac {1}{\left(p+1\right)\left(P^{2}+2p+2\right)}}={\frac {a}{p+1}}+{\frac {bp+c}{p^{2}+2p+p}}$

5. En déduire la fonction f vérifiant les 3 conditions a, b et c données ci-dessus

6. Étudier les variations des fonctions g' et h définies sur l'intervalle $\left[0,\pi \right]$ par $g(t)=e^{-t}$ et $h(t)=e^{-t}\sin {t}$. (On montrera que $h'(t)={\sqrt {2}}e^{-t}\cos {\left(t+{\frac {\pi }{4}}\right)}$.)

7. Construire sur un plan rapporté à un repère orthogonal (unité graphique : 5 cm sur l'axe des abscisses, 10 cm sur l'axe des ordonnées) les courbes représentatives des fonctions g et h

8. En déduire la courbe représentatives dans le même repère de la fonction f égale à g+h sur $\left[0,\pi \right]$, on précisera la tangente pour t=0.

9. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur $\left[0,\pi \right]$.

Solution

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