Translation et homothétie/Exercices/Composition d'homothéties et de translations

Exercice 2-1

Soit $A$ et $B$ deux points d'un plan.

Dans chacun des cas suivants, donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g\circ f$.

1°  $f$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$.

$g$ est l'homothétie de centre $B$ et de rapport ${\frac {1}{2}}$.

2°  $f$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$.

$g$ est l'homothétie de centre $B$ et de rapport $-{\frac {1}{2}}$.

3°  $f$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$.

$g$ est la translation de vecteur ${\vec {AB}}$.

4°  $f$ est la translation de vecteur $2{\vec {AB}}$.

$g$ est l'homothétie de centre $B$ et de rapport $-3$.

Solution

1. $g\circ f$ est la translation de vecteur ${\vec {AI}}$, où $I:=g\circ f(A)=g(A)$ est le milieu de $[AB]$.
2. $g\circ f$ est l'homothétie de rapport $-{\frac {3}{2}}$ qui envoie $A$ sur $g(A)=B-{\frac {1}{2}}{\vec {BA}}$. Son centre est donc le point $\Omega$ tel que ${\vec {\Omega B}}-{\frac {1}{2}}{\vec {BA}}=-{\frac {3}{2}}{\vec {\Omega A}}$, soit $\Omega =A+{\frac {3}{5}}{\vec {AB}}$.
3. $g\circ f$ est l'homothétie de rapport $2$ qui envoie $A$ sur $B$. Son centre est donc le point $\Omega$ tel que ${\vec {\Omega B}}=2{\vec {\Omega A}}$, c'est-à-dire le symétrique de $B$ par rapport à $A$.
4. $g\circ f$ est l'homothétie de rapport $-3$ qui envoie $B-2{\vec {AB}}$ sur $B$. Son centre est donc le point $\Omega$ tel que ${\vec {\Omega B}}=-3\left({\vec {\Omega B}}-2{\vec {AB}}\right)$, soit $\Omega =A-{\frac {1}{2}}{\vec {AB}}$.

 

Exercice 2-2

Soient :

• $A,\,B,\,C$ trois points d'un plan ;
• $f$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-2$ ;
• $g$ la translation de vecteur ${\vec {BC}}$.

Donnez la nature des transformations $g\circ f$ et $f\circ g$ et construisez leurs centres.

Solution

$g\circ f$ et $f\circ g$ sont deux homothéties de rapport $-2$. Notons $\Omega$ et $\Omega '$ leurs centres respectifs.

• $-2{\vec {\Omega A}}={\vec {\Omega A}}+{\vec {BC}}$ donc $\Omega =A+{\frac {1}{3}}{\vec {BC}}$.
• $-2{\vec {\Omega 'B}}={\vec {\Omega 'A}}-2{\vec {AC}}$ donc $\Omega '=A-{\frac {2}{3}}{\vec {BC}}$.

Remarque : la donnée des points $B$ et $C$ ne sert pas : seul le vecteur de la translation $g$ est utile.

 

Exercice 2-3

Soient :

• $h$ une homothétie, de centre $A$ et de rapport $k$ ;
• $t$ une translation, de vecteur ${\vec {u}}$.

Montrer que dans le cas général, $t\circ h\neq h\circ t$. Dans quels cas a-t-on l'égalité ?

Solution

Pour tout point $M$, on a $t(M)=M+{\vec {u}}$ et ${\overrightarrow {Ah(M)}}=k{\overrightarrow {AM}}$.

On en déduit : ${\overrightarrow {A\,t\circ h(M)}}={\overrightarrow {Ah(M)}}+{\vec {u}}=k{\overrightarrow {AM}}+{\vec {u}}$ et ${\overrightarrow {A\,h\circ t(M)}}=k{\overrightarrow {At(M)}}=k({\overrightarrow {AM}}+{\vec {u}})$.

On a donc égalité si et seulement si ${\vec {u}}=k{\vec {u}}$, c'est-à-dire ${\vec {u}}={\vec {0}}$ ou k=1, c'est-à-dire $t=\mathrm {id}$ ou $h=\mathrm {id}$.

 

On rappelle que $t\circ h$ et $h\circ t$ sont des homothéties de rapport $k$. En supposant $k\neq 1$, nous noterons :

• $I$ le centre de $t\circ h$ ;
• $J$ celui de $h\circ t$ ;
• $B$ l'image de $A$ par $t\circ h$.

Montrez que :

1. ${\vec {IB}}=k{\vec {IA}}$ ;
2. $B=t(A)$ ;
3. ${\vec {AB}}={\vec {u}}$ ;
4. ${\vec {AI}}={\frac {1}{1-k}}{\vec {u}}$ ;
5. ${\vec {AJ}}={\frac {k}{1-k}}{\vec {u}}$.

Solution

1. Immédiat, par définition de $I$ et $B$.
2. Immédiat, par définition de $A$ et $B$.
3. Immédiat, par la question précédente.
4. D'après les questions 3 et 1, ${\vec {AI}}-{\vec {u}}={\vec {AI}}-{\vec {AB}}={\vec {BI}}=k{\vec {AI}}$, donc $(1-k){\vec {AI}}={\vec {u}}$.
5. $J$ est aussi le centre de $(h\circ t)^{-1}=t^{-1}\circ h^{-1}$ donc en remplaçant $h$ et $t$ par leurs inverses dans la question précédente, on en déduit : ${\vec {AJ}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{k}}}}(-{\vec {u}})={\frac {k}{1-k}}{\vec {u}}$.