Translation et homothétie/Exercices/Configurations

Exercice 3-1

Soient, dans un plan :

• ${\mathcal {C}}$ un cercle, de centre $O$ et de rayon $r$ ;
• ${\mathcal {C}}'$ un cercle, de centre $O'$ et de rayon $r'$.

Donner les caractéristiques des homothéties qui transforment ${\mathcal {C}}$ en ${\mathcal {C}}'$.

Solution

Si $r'\neq r$, les centres $\Omega$ et $\Omega '$ de ces deux homothéties, de rapports respectifs $k:={\frac {r'}{r}}$ et $-k$, sont déterminés par :

• ${\vec {\Omega O'}}=k\,{\vec {\Omega O}}$, c'est-à-dire ${\vec {O\Omega }}={\frac {1}{1-k}}{\vec {OO'}}={\frac {r}{r-r'}}{\vec {OO'}}$ ;
• de même, ${\vec {O\Omega '}}={\frac {r}{r+r'}}{\vec {OO'}}$.

Si $r'=r$, la première homothétie est remplacée par une translation, de vecteur ${\vec {OO'}}$.

 

Exercice 3-2

Soient :

• $ABC$ un triangle ;
• $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des côtés $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$ ;
• $G$ le centre de gravité de $ABC$.

Pour tout point $M$, on note $P$, $Q$ et $R$ les symétriques de $M$ par rapport à $I$, $J$ et $K$. On se propose de montrer que $[AP]$, $[BQ]$ et $[CR]$ ont même milieu $O$, et que les points $O$, $G$ et $M$ sont alignés.

1. Montrez qu'il existe une homothétie $h_{1}$ qui transforme $(A,B,C)$ en $(I,J,K)$. Précisez ses éléments caractéristiques.
2. Montrez qu'il existe une homothétie $h_{2}$ qui transforme $(I,J,K)$ en $(P,Q,R)$.
3. Concluez en considérant la transformation $f=h_{2}\circ h_{1}$.

Solution

1. L'homothétie de centre $G$ et de rapport $-{\frac {1}{2}}$ convient car, par exemple : ${\vec {GI}}={\frac {{\vec {GB}}+{\vec {GC}}}{2}}=-{\frac {\vec {GA}}{2}}$.
2. L'homothétie de centre $M$ et de rapport $2$ convient, par définition de $P$, $Q$ et $R$.
3. $f$ est une symétrie centrale qui transforme $(A,B,C)$ en $(P,Q,R)$. Son centre $O$ est donc le milieu de $[AP]$, $[BQ]$ et $[CR]$. De plus, $-{\vec {OG}}={\vec {Of(G)}}={\frac {{\vec {OP}}+{\vec {OQ}}+{\vec {OR}}}{3}}={\vec {OM}}+2{\frac {{\vec {MI}}+{\vec {MJ}}+{\vec {MK}}}{3}}={\vec {OM}}+2{\vec {MG}}$ donc $O$, $G$ et $M$ sont alignés.

 

Exercice 3-3

Soient :

• $ABC$ un triangle ;
• $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$ ;
• $\Gamma$ et $\Gamma '$ les cercles circonscrits, respectivement, à $ABC$ et $IJK$.

1. Déterminez les homothéties qui transforment $\Gamma$ en $\Gamma '$.
2. Démontrez que $\Gamma '$ passe par :
   • les milieux de $[HA]$, $[HB]$ et $[HC]$, où $H$ désigne l'orthocentre de $ABC$ ;
   • les pieds des hauteurs de $ABC$.

Solution

1. L'homothétie $g$ de centre $G$ (le centre de gravité commun à $ABC$ et $IJK$) et de rapport $-{\frac {1}{2}}$ transforme $ABC$ en $IJK$ donc $\Gamma$ en $\Gamma '$. Par conséquent (cf. Exercice 3-1 ci-dessus) il y a deux homothéties transformant $\Gamma$ en $\Gamma '$, la seconde, $h$, a pour rapport ${\frac {1}{2}}$ et, en notant $H$ son centre, on a : ${\vec {\Omega G}}={\frac {2}{3}}{\vec {\Omega \Omega '}}$ et ${\vec {\Omega H}}=2{\vec {\Omega \Omega '}}$, où $\Omega$ et $\Omega '$ désignent les centres des deux cercles.
2. • Les points $h(A)$, $h(B)$ et $h(C)$ appartiennent à $\Gamma '$ et sont, par définition de $h$, les milieux de $[HA]$, $[HB]$ et $[HC]$. Montrons que $H$ est l'orthocentre de $ABC$. Il suffit de montrer que $(AH)$ est une hauteur de $ABC$ (il en sera de même pour $(BH)$ et $(CH)$). D'après la question 1, ${\vec {GH}}=2{\vec {\Omega G}}$ donc ${\vec {AH}}={\vec {AG}}+2{\vec {\Omega G}}=2{\vec {GI}}+2{\vec {\Omega G}}=2{\vec {\Omega I}}$, or $(\Omega I)$ est la médiatrice de $[BC]$. On a donc bien $(AH)\perp (BC)$.
   • Soit $K$ le point en lequel $(AH)$ recoupe $\Gamma$. Alors, $L:=h(K)\in \Gamma '\cap (AH)$. Montrons que $L\in (BC)$, ce qui prouvera que $L$ est le pied d'une hauteur de $ABC$ (et de même, $\Gamma '$ passera par les pieds des deux autres hauteurs). Le point $A':=h^{-1}(I)\in \Gamma$ est égal à $(h^{-1}\circ g)(A)$ donc diamétralement opposé à $A$. Par conséquent, $(A'K)\perp (KA)=(HA)$ donc (en appliquant $h$) $(IL)\perp (HA)$, c'est-à-dire $(IL)/\!/(BC)$. Puisque $I\in (BC)$, on a donc bien $L\in (BC)$.