Translation et homothétie/Exercices/Lieux géométriques

Exercice 4-1

Soit $A$ et $B$ deux points distincts d'un plan.

Soit $M$ un point tel que le triangle $MAB$ soit rectangle en $M$.

Déterminer les lieux géométriques :

1. du point $M$ ;
2. du centre de gravité du triangle $AMB$.

Solution

1. $M$ parcourt le cercle de diamètre $[AB]$.
2. Soit $r=AB/2$ le rayon de ce cercle. Le centre de gravité de $AMB$ parcourt le cercle de même centre (le milieu de $[AB]$) et de rayon $r/3$.

 

Exercice 4-2

Dans un parallélogramme $ABCD$, la diagonale $[BD]$ est fixe. Le point $A$ décrit le cercle ${\mathcal {C}}$ de centre $D$ et de rayon $r$ non nul. $E$ désigne le symétrique de $C$ par rapport à $D$.

1. Déterminer le lieu géométrique du point $E$ lorsque $A$ décrit ${\mathcal {C}}$.
2. Déterminer de deux manières différentes le lieu géométrique de $C$.

Solution

1. $E=A+{\vec {BD}}$ décrit le cercle de rayon $r$ et de centre le point $F:=D+{\vec {BD}}$, symétrique de $B$ par rapport à $D$.
2. $C$ décrit donc le symétrique de ce cercle par rapport à $D$, c'est-à-dire le cercle de rayon $r$ et de centre $B$. Ou directement : $C$ décrit le symétrique, par rapport au milieu de $[BD]$, du cercle décrit par $A$ (ce qui est le début d'une autre méthode pour répondre à la question 1).

 

Exercice 4-3

Soit $A$ et $B$ deux points distincts d'un plan.

On considère un point $M$ parcourant une droite $\Delta$.

1°  Quel est le lieu géométrique :

a)  des points $N$ tel que $ABMN$ soit un parallélogramme.

b)  des centres des parallélogrammes $ABMN$.

2°  Construisez un parallélogramme $ABCD$ tel que les sommets $C$ et $D$ appartiennent respectivement à deux droites données $\Delta _{1}$ et $\Delta _{2}$ non parallèles.

Solution

1°  a)  $N$ parcourt la droite $\Delta ':=\Delta +{\vec {BA}}$.

b)  Le centre de $ABMN$ parcourt la droite $\Delta +{\frac {1}{2}}{\vec {OA}}$, où $O$ est un point arbitraire de $\Delta$.

2°  $D$ est à l'intersection de $\Delta _{2}$ et de $\Delta _{1}+{\vec {BA}}$, puis $C=D+{\vec {AB}}$.