Translation et homothétie/Exercices/Constructions

Exercice 5-1

Soit ${\mathcal {D}}$ et ${\mathcal {D}}'$ deux droites sécantes.

Soit $I$ un point extérieur à ${\mathcal {D}}$ et ${\mathcal {D}}'$.

Déterminer un point $A$ sur ${\mathcal {D}}$ et un point $B$ sur ${\mathcal {D}}'$ tel que $I$ soit le milieu de $[AB]$.

Solution

$B$ est à l'intersection de ${\mathcal {D}}'$ et de la droite symétrique de ${\mathcal {D}}$ par rapport à $I$, puis $A$ est le symétrique de $B$ par rapport à $I$.

 

Exercice 5-2

Soient :

• ${\mathcal {C}}$ un cercle, de centre $O$ ;
• $A$ un point de ${\mathcal {C}}$ ;
• $B$ le point défini par ${\vec {OB}}={\frac {3}{2}}{\vec {OA}}$ ;
• ${\mathcal {D}}$ la perpendiculaire à $(OB)$ passant par $B$ ;

Trouver un point $M$ de ${\mathcal {D}}$ et un point $N$ de ${\mathcal {C}}$ tels que $OAMN$ soit un parallélogramme.

Aide

On pourra commencer par montrer que le point $N$ est l'intersection de deux lignes fixes.

Solution

Quand $M$ décrit ${\mathcal {D}}$, le milieu $I$ de $[OM]$ décrit la parallèle ${\mathcal {D}}'$ à ${\mathcal {D}}$ passant par le point $H$ défini par ${\vec {OH}}={\frac {1}{2}}{\vec {OB}}$, et le symétrique de $A$ par rapport à $I$ décrit la parallèle ${\mathcal {D}}''$ à ${\mathcal {D}}'$ (donc à ${\mathcal {D}}$) passant par le point $K$ défini par ${\vec {AK}}=2{\vec {AH}}$, c'est-à-dire ${\vec {OK}}={\frac {1}{2}}{\vec {OA}}$. Les deux solutions $OAMN$ s'obtiennent en plaçant $N$ à l'intersection de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}''$ (puis $M$ de telle façon que $OAMN$ soit un parallélogramme). Ce sont deux losanges, symétriques par rapport à $(OA)$.

 

Exercice 5-3

On considère trois droites $\Delta _{A}$, $\Delta _{B}$ et $\Delta _{C}$, concourantes en un point $G$.

On se propose de construire trois points $A\in \Delta _{A}$, $B\in \Delta _{B}$ et $C\in \Delta _{C}$ tels que le triangle $ABC$ ait pour médianes $\Delta _{A}$, $\Delta _{B}$ et $\Delta _{C}$. Pour cela, on procédera par analyse et synthèse.

1°  On suppose le problème résolu et la figure construite (on fera une figure approximative au brouillon). On note $A'$ le milieu de $[BC]$. Quel est le rapport de :

a)  l'homothétie de centre $A$ qui transforme $G$ en $A'$ ?

b)  l'homothétie de centre $A'$ qui transforme $B$ en $C$ ?

2°  Démontrez que tout point $A$ de $\Delta _{A}$, autre que $G$, est le sommet d'un unique triangle répondant à la question. Expliquez et justifiez la construction du triangle $ABC$.

Solution

1°  a)  ${\frac {3}{2}}$.

b)  $-1$.

2°  La seule possibilité est que $A'$ soit obtenu par la première homothétie, puis que $B$ soit à l'intersection de $\Delta _{B}$ et de la symétrique de $\Delta _{C}$ par rapport à $A'$ (et que $C$ soit le symétrique de $B$ par rapport à $A'$). Le triangle $ABC$ obtenu répond bien au problème car par construction, $\Delta _{A}=(GA)$ est une médiane et $G$ est le centre de gravité de $ABC$ donc les deux autres médianes sont $(GB)=\Delta _{B}$ et $(GC)=\Delta _{C}$.