Translation et homothétie/Exercices/Expressions analytiques

Exercice 6-1

Soit $\left(O;{\vec {i}},{\vec {j}}\right)$ un repère. Déterminer, dans chacune des situations suivantes, l'expression analytique des transformations $f$, $g$ et $g\circ f$.

1°  $f$ est la translation de vecteur $2{\vec {i}}+{\vec {j}}$.

$g$ est l'homothétie de centre $A\left(3,-1\right)$ et de rapport $-2$.

2°  $f$ est l'homothétie de centre $B\left(1,2\right)$ et de rapport $-3$.

$g$ est l'homothétie de centre $C\left(2,1\right)$ et de rapport $-{\frac {1}{3}}$.

3°  $f$ est l'homothétie de centre $D\left(1,-4\right)$ et de rapport $2$.

$g$ est l'homothétie de centre $E\left(0,3\right)$ et de rapport $-3$.

Solution

1°  $f\left(x,y\right)=\left(x+2,y+1\right),\quad g\left(x,y\right)=\left(3-2(x-3),-1-2(y+1)\right)=\left(-2x+9,-2y-3\right)$,

$g\circ f\left(x,y\right)=\left(-2(x+2)+9,-2(y+1)-3\right)=\left(-2x+5,-2y-5\right)$.

2°  $f\left(x,y\right)=\left(1-3(x-1),2-3(y-2)\right)=\left(-3x+4,-3y+8\right),\quad g\left(x,y\right)=\left(2-{\frac {x-2}{3}},1-{\frac {y-1}{3}}\right)=\left({\frac {-x+8}{3}},{\frac {-y+4}{3}}\right)$,

$g\circ f\left(x,y\right)=\left({\frac {-(-3x+4)+8}{3}},{\frac {-(-3y+8)+4}{3}}\right)=\left(x+{\frac {4}{3}},y-{\frac {4}{3}}\right)$.

3°  $f\left(x,y\right)=\left(1+2(x-1),-4+2(y+4)\right)=\left(2x-1,2y+4\right),\quad g\left(x,y\right)=\left(-3x,3-3(y-3)\right)=\left(-3x,-3y+6\right)$,

$g\circ f\left(x,y\right)=\left(-3(2x-1),-3(2y+4)+6\right)=\left(-6x+3,-6y-6\right)$.

 

Exercice 6-2

Dans un repère orthonormé $\left(O;{\vec {i}},{\vec {j}}\right)$, soient :

• ${\mathcal {D}}$ la droite d'équation $x-2y+5=0$ ;
• ${\mathcal {C}}$ le cercle d'équation $x^{2}+y^{2}-2x+6y=0$.

Déterminez les images de ${\mathcal {D}}$ et de ${\mathcal {C}}$ par :

1. la translation $t$ de vecteur ${\vec {u}}=-4{\vec {i}}+{\vec {j}}$ ;
2. la translation $t'$ de vecteur ${\vec {u}}'=2{\vec {i}}+{\vec {j}}$ ;
3. l'homothétie $h$ de centre $I\left(1,-3\right)$ et de rapport $2$ ;
4. l'homothétie $h'$ de centre $J\left(-1,2\right)$ et de rapport $-3$.

Solution

L'équation de ${\mathcal {C}}$ se réécrit : $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=10$.

1. $t\left({\mathcal {D}}\right)$ est la droite d'équation $0=(x+4)-2(y-1)+5=x-2y+11$ et $t\left({\mathcal {C}}\right)$ est le cercle d'équation $10=((x+4)-1)^{2}+((y-1)+3)^{2}=(x+3)^{2}+(y+2)^{2}$.
2. $t'\left({\mathcal {D}}\right)={\mathcal {D}}$ (car ${\vec {u}}'/\!/{\mathcal {D}}$) et $t'\left({\mathcal {C}}\right)$ est le cercle d'équation $10=((x-2)-1)^{2}+((y-1)+3)^{2}=(x-3)^{2}+(y+2)^{2}$.
3. $h^{-1}\left(x,y\right)=\left(1+{\frac {x-1}{2}},-3+{\frac {y+3}{2}}\right)=\left({\frac {x+1}{2}},{\frac {y-3}{2}}\right)$ donc $h\left({\mathcal {D}}\right)$ est la droite d'équation $0={\frac {x+1}{2}}-2{\frac {y-3}{2}}+5$, c'est-à-dire $0=\left(x+1\right)-2\left(y-3\right)+10=x-2y+17$.
   $I$ est le centre de ${\mathcal {C}}$ donc $h\left({\mathcal {C}}\right)$ est le cercle d'équation $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=40$.
4. $h'\left({\mathcal {D}}\right)={\mathcal {D}}$ (car $J\in {\mathcal {D}}$). $h'\left(x,y\right)=\left(-1-3(x+1),2-3(y-2)\right)=\left(-3x-4,-3y+8\right)$, en particulier $h'\left(1,-3\right)=\left(-7,17\right)$ donc $h'\left({\mathcal {C}}\right)$ est le cercle d'équation $(x+7)^{2}+(y-17)^{2}=90$.

 

Exercice 6-3

Dans un repère $\left(O;{\vec {i}},{\vec {j}}\right)$, soient :

• ${\mathcal {D}}$ la droite d'équation $2x-y+1=0$ ;
• $\Delta$ la droite d'équation $2x-y-4=0$.

1°  Déterminez (s'il en existe) les réels $\lambda$ tels que la translation de vecteur ${\vec {u}}$ transforme ${\mathcal {D}}$ en $\Delta$ lorsque ${\vec {u}}$ a pour coordonnées :

a)  $\left(\lambda ,2\lambda \right)$ ;

b)  $\left(\lambda ,-\lambda \right)$.

2°  Déterminez (s'il en existe) les réels $k\neq 0$ tels que l'homothétie de centre $I$ et de rapport $k$ transforme ${\mathcal {D}}$ en $\Delta$ lorsque $I$ a pour coordonnées :

a)  $\left(2,5\right)$ ;

b)  $\left(1,-1\right)$.

Solution

1°  La translation de vecteur $\lambda {\vec {i}}+\mu {\vec {j}}$ envoie ${\mathcal {D}}$ sur la droite d'équation $0=2(x-\lambda )-(y-\mu )+1=2x-y+(-2\lambda +\mu +1)$.

a)  $-2\lambda +(2\lambda )+1=-4$ n'a pas de solution (c'est dû au fait que ${\vec {i}}+2{\vec {j}}/\!/{\mathcal {D}}$ donc ${\mathcal {D}}+\lambda ({\vec {i}}+2{\vec {j}})={\mathcal {D}}$).

b)  La solution de $-2\lambda +(-\lambda )+1=-4$ est $\lambda ={\frac {5}{3}}$.

2°  L'homothétie de centre $O+a{\vec {i}}+b{\vec {j}}$ et de rapport $k$ vérifie : $h^{-1}\left(x,y\right)=\left(a+{\frac {x-a}{k}},b+{\frac {y-b}{k}}\right)=\left({\frac {x+(k-1)a}{k}},{\frac {y+(k-1)b}{k}}\right)$ donc envoie ${\mathcal {D}}$ sur la droite d'équation $2{\frac {x+(k-1)a}{k}}-{\frac {y+(k-1)b}{k}}+1=0$, c'est-à-dire $2x-y+(k-1)(2a-b)+k=0$.

a)  $-4=(k-1)(2\times 2-5)+k=1$ n'a pas de solution (le point de coordonnées $\left(2,5\right)$ appartient à ${\mathcal {D}}$ donc toute homothétie centrée en ce point envoie ${\mathcal {D}}$ sur elle-même).

b)  La solution de $-4=(k-1)(2\times 1-(-1))+k=4k-3$ est $k=-{\frac {1}{4}}$.