Début de la boite de navigation du chapitre
Cette annexe va présenter une démonstration des formules de trigonométrie du chapitre 7 (page qu'il serait très pratique d’avoir dans un autre onglet de votre navigateur en parallèle de ce cours). Il existe des démonstrations ne relevant que de géométrie pure mais dans le but de généraliser les formules aux angles orientés et à valeur réelle (angles négatifs, angles supérieurs à 360°), nous allons devoir recourir à la géométrie analytique.
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Trigonométrie : Les formules de trigonométrie Trigonométrie/Les formules de trigonométrie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Notre priorité sera, avant tout, de montrer les deux formules concernant
cos
(
a
+
b
)
{\displaystyle \cos(a+b)}
sin
(
a
+
b
)
{\displaystyle \sin(a+b)}
Somme de deux angles dans le cercle trigonométrique. Soient
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
(
O
;
i
→
,
j
→
)
{\displaystyle (O;{\vec {i}},{\vec {j}})}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
(
i
→
,
O
A
→
)
=
a
{\displaystyle ({\vec {i}},{\overrightarrow {OA}})=a}
(
O
A
→
,
O
B
→
)
=
b
{\displaystyle ({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})=b}
Soit encore
A
′
{\displaystyle A'}
(
i
→
,
O
A
′
→
)
=
a
+
π
2
{\displaystyle ({\vec {i}},{\overrightarrow {OA'}})=a+{\frac {\pi }{2}}}
Alors :
O
A
→
=
(
cos
a
)
i
→
+
(
sin
a
)
j
→
O
A
′
→
=
cos
(
a
+
π
2
)
i
→
+
sin
(
a
+
π
2
)
j
→
=
−
(
sin
a
)
i
→
+
(
cos
a
)
j
→
O
B
→
=
cos
(
a
+
b
)
i
→
+
sin
(
a
+
b
)
j
→
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {OA}}&=(\cos a){\vec {i}}+(\sin a){\vec {j}}\\{\overrightarrow {OA'}}&=\cos \left(a+{\frac {\pi }{2}}\right){\vec {i}}+\sin \left(a+{\frac {\pi }{2}}\right){\vec {j}}\\&=-(\sin a){\vec {i}}+(\cos a){\vec {j}}\\{\overrightarrow {OB}}&=\cos(a+b){\vec {i}}+\sin(a+b){\vec {j}}.\end{aligned}}}
Mais dans le repère
(
O
;
O
A
→
,
O
A
′
→
)
{\displaystyle (O;{\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OA'}})}
O
B
→
=
(
cos
b
)
O
A
→
+
(
sin
b
)
O
A
′
→
=
(
cos
b
)
(
(
cos
a
)
i
→
+
(
sin
a
)
j
→
)
+
(
sin
b
)
(
−
(
sin
a
)
i
→
+
(
cos
a
)
j
→
)
=
(
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
)
i
→
+
(
sin
a
cos
b
+
cos
a
sin
b
)
j
→
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {OB}}&=(\cos b){\overrightarrow {OA}}+(\sin b){\overrightarrow {OA'}}\\&=(\cos b)((\cos a){\vec {i}}+(\sin a){\vec {j}})+(\sin b)\left(-(\sin a){\vec {i}}+(\cos a){\vec {j}}\right)\\&=(\cos a\cos b-\sin a\sin b){\vec {i}}+(\sin a\cos b+\cos a\sin b){\vec {j}}\end{aligned}}}
Or
O
B
→
=
cos
(
a
+
b
)
i
→
+
sin
(
a
+
b
)
j
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OB}}=\cos(a+b){\vec {i}}+\sin(a+b){\vec {j}}}
Les composantes d’un vecteur étant uniques, nous pouvons identifier :
cos
(
a
+
b
)
=
cos
(
a
)
cos
(
b
)
−
sin
(
a
)
sin
(
b
)
sin
(
a
+
b
)
=
sin
(
a
)
cos
(
b
)
+
cos
(
a
)
sin
(
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\\\sin(a+b)&=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\end{aligned}}}
Enfin,
tan
(
a
+
b
)
=
sin
(
a
+
b
)
cos
(
a
+
b
)
=
sin
(
a
)
cos
(
b
)
+
cos
(
a
)
sin
(
b
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
−
sin
(
a
)
sin
(
b
)
=
sin
(
a
)
cos
(
b
)
+
cos
(
a
)
sin
(
b
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
×
cos
(
a
)
cos
(
b
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
−
sin
(
a
)
sin
(
b
)
=
tan
(
a
)
+
tan
(
b
)
1
−
tan
(
a
)
tan
(
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(a+b)&={\frac {\sin(a+b)}{\cos(a+b)}}\\&={\frac {\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)}}\\&={\frac {\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b)}}\times {\frac {\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)}}\\&={\frac {\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}}\end{aligned}}}
Démonstration géométrique
Construction
Soient :
un cercle de centre
o
{\displaystyle o}
r
{\displaystyle r}
trois point
r
0
,
r
1
,
r
2
{\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2}}
r
0
o
r
1
^
=
a
{\displaystyle {\widehat {r_{0}or_{1}}}=a}
r
1
o
r
2
^
=
b
{\displaystyle {\widehat {r_{1}or_{2}}}=b}
h
1
,
h
2
{\displaystyle h_{1},h_{2}}
r
1
,
r
2
{\displaystyle r_{1},r_{2}}
o
r
0
{\displaystyle or_{0}}
h
3
{\displaystyle h_{3}}
r
2
{\displaystyle r_{2}}
o
r
1
{\displaystyle or_{1}}
x
{\displaystyle x}
o
r
1
{\displaystyle or_{1}}
r
2
h
2
{\displaystyle r_{2}h_{2}}
On remarque que :
o
h
2
o
x
=
cos
a
{\displaystyle {\frac {oh_{2}}{ox}}=\cos a}
h
2
x
o
x
=
sin
a
{\displaystyle {\frac {h_{2}x}{ox}}=\sin a}
o
h
3
r
=
cos
b
{\displaystyle {\frac {oh_{3}}{r}}=\cos b}
h
3
r
2
r
=
sin
b
{\displaystyle {\frac {h_{3}r_{2}}{r}}=\sin b}
o
x
h
2
^
=
h
3
x
r
2
^
⇒
x
r
2
h
3
^
=
a
⇒
h
3
x
h
3
r
2
=
tan
a
{\displaystyle {\widehat {oxh_{2}}}={\widehat {h_{3}xr_{2}}}\Rightarrow {\widehat {xr_{2}h_{3}}}=a\Rightarrow {\frac {h_{3}x}{h_{3}r_{2}}}=\tan a}
h
3
r
2
x
r
2
=
cos
a
{\displaystyle {\frac {h_{3}r_{2}}{xr_{2}}}=\cos a}
o
x
r
=
o
h
3
−
h
3
x
r
=
o
h
3
r
−
h
3
x
h
3
r
2
h
3
r
2
r
=
cos
b
−
tan
a
sin
b
{\displaystyle {\frac {ox}{r}}={\frac {oh_{3}-h_{3}x}{r}}={\frac {oh_{3}}{r}}-{\frac {h_{3}x}{h_{3}r_{2}}}{\frac {h_{3}r_{2}}{r}}=\cos b-\tan a\sin b}
cos(a + b )
cos
(
a
+
b
)
=
o
h
2
r
=
o
x
cos
a
r
=
(
cos
b
−
tan
a
sin
b
)
cos
a
=
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(a+b)&={\frac {oh_{2}}{r}}\\&={\frac {ox\cos a}{r}}\\&=(\cos b-\tan a\sin b)\cos a\\&=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\end{aligned}}}
sin(a + b )
sin
(
a
+
b
)
=
h
2
r
2
r
=
h
2
x
+
x
r
2
r
=
o
x
r
sin
a
+
x
r
2
h
3
r
2
h
3
r
2
r
=
(
cos
b
−
tan
a
sin
b
)
sin
a
+
1
cos
a
sin
b
=
cos
b
sin
a
+
sin
b
cos
a
(
1
−
sin
2
a
)
=
cos
b
sin
a
+
sin
b
cos
a
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(a+b)&={\frac {h_{2}r_{2}}{r}}\\&={\frac {h_{2}x+xr_{2}}{r}}\\&={\frac {ox}{r}}\sin a+{\frac {xr_{2}}{h_{3}r_{2}}}{\frac {h_{3}r_{2}}{r}}\\&=(\cos b-\tan a\sin b)\sin a+{\frac {1}{\cos a}}\sin b\\&=\cos b\sin a+{\frac {\sin b}{\cos a}}(1-\sin ^{2}a)\\&=\cos b\sin a+\sin b\cos a.\end{aligned}}}
.png)
