Trigonométrie/Les formules de trigonométrie

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Les formules de trigonométrie
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Chapitre no 11
Leçon : Trigonométrie
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Cette annexe va présenter une démonstration des formules de trigonométrie du chapitre 7 (page dont il serait très pratique d’avoir en parallèle avec ce cours, dans votre navigateur). Il existe des démonstrations ne relevant que de géométrie pure mais dans le but de généraliser les formules aux angles orientés et à valeur réelle (angles négatifs, angles supérieurs à 360°), nous allons devoir recourir à la géométrie analytique.

Notre priorité sera avant tout de montrer les deux formules concernant et . Toutes les autres en découleront immédiatement.

Les formules d'additionModifier

 
Somme de deux angles dans le cercle trigonométrique.

Soient   et   deux réels. Dans un repère orthonormé  , posons   et   les points du cercle trigonométrique tels que

  et  .

Soit encore   le point du cercle trigonométrique tel que

 .

Alors :

 

Mais dans le repère  ,

 

Or  .

Les composantes d’un vecteur étant uniques, nous pouvons identifier :

 

Enfin,

 

Les autres formulesModifier

En posant  , et en n'oubliant pas que   — ou encore (en divisant les deux membres par  ) :   — les formules de duplication viennent clairement.

De là, on trouve facilement les formules de linéarisation à l'aide de deux expressions de  .

Les formulaires 4 et 5 s'obtiennent à partir du formulaire 1 :

 

donc

 

et, par un changement de variable, en posant   et  ,

 .

La formule   se déduit directement de la formule d'addition pour  .