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Exercice : Fonctions cosinus et sinusTrigonométrie/Exercices/Fonctions cosinus et sinus », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
1° Expliquer par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :
cos ( x + π 2 ) = − sin x {\displaystyle \cos \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin x} .2° Interpréter cette propriété graphiquement pour les courbes des fonctions cos et sin.
Solution
Pour se ramener aux arcs remarquables
cos ( x + π 2 ) = − cos ( − x + π 2 ) {\displaystyle \cos \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos(-x+{\frac {\pi }{2}})} .
Or par complémentarité
cos ( − x + π 2 ) = sin x {\displaystyle \cos \left(-x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin x} .
On écrit tout simplement
cos ( x + π 2 ) = − cos ( − x + π 2 ) = − sin x {\displaystyle \cos \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos \left(-x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin x} .
Expliquer par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :
cos ( x + π ) = − cos x {\displaystyle \cos(x+\pi )=-\cos x} .
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Compléter et expliquer les formules par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :
1° cos ( π − x ) = . . . {\displaystyle \cos(\pi -x)=...}
2° sin ( π − x ) = . . . {\displaystyle \sin(\pi -x)=...}
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Compléter et expliquer les formules par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :
1° cos ( π 2 − x ) = . . . {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=...}
2° sin ( π 2 − x ) = . . . {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=...}
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Résoudre l'équation :
cos x = 0 , 5 {\displaystyle \cos x=0,5} .
Résoudre l'équation :
sin x = 3 2 {\displaystyle \sin x={\frac {\sqrt {3}}{2}}} .
Résoudre l'équation :
cos ( x − π 4 ) = 3 2 {\displaystyle \cos \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}} .
Calculez le cosinus, le sinus et la tangente de :
1° π 8 {\displaystyle {\frac {\pi }{8}}} ;
2° π 24 {\displaystyle {\frac {\pi }{24}}} ;
3° π 16 {\displaystyle {\frac {\pi }{16}}} ;
4° 17 π 12 {\displaystyle {\frac {17\pi }{12}}} .
On définit un réel x {\displaystyle x} par :
cos x = 6 + 2 4 , 0 < x < π 2 {\displaystyle \cos x={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},\qquad 0<x<{\frac {\pi }{2}}} Calculer cos 2 x {\displaystyle \cos 2x} et en déduire x {\displaystyle x} .
Solution
cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 3 2 {\displaystyle \cos 2x=2\cos ^{2}x-1={\frac {\sqrt {3}}{2}}} donc x = π 12 {\displaystyle x={\frac {\pi }{12}}} .
On définit un réel x {\displaystyle x} par :
sin x = 5 − 1 4 , 0 < x < π 2 {\displaystyle \sin x={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\qquad 0<x<{\frac {\pi }{2}}} 1° Calculer cos 2 x {\displaystyle \cos 2x} et sin 2 x {\displaystyle \sin 2x} .
2° Vérifier que cos 4 x = sin x {\displaystyle \cos 4x=\sin x} .
3° En déduire x {\displaystyle x} .
Solution
1° cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x = 1 + 5 4 {\displaystyle \cos 2x=1-2\sin ^{2}x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}
sin 2 x = 1 − cos 2 2 x = 5 − 5 8 {\displaystyle \sin 2x={\sqrt {1-\cos ^{2}2x}}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}} 2° cos 4 x = 2 cos 2 2 x − 1 = 5 − 1 4 = sin x {\displaystyle \cos 4x=2\cos ^{2}2x-1={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}=\sin x} .
3° 4 x = π 2 − x {\displaystyle 4x={\frac {\pi }{2}}-x} donc x = π 10 {\displaystyle x={\frac {\pi }{10}}} .
Calculer sin 2 x {\displaystyle \sin 2x} sachant que :
sin x − cos x = 1 5 {\displaystyle \sin x-\cos x={\frac {1}{5}}}
Solution
sin 2 x = 2 sin x cos x = cos 2 x + sin 2 x − ( sin x − cos x ) 2 = 1 − 1 25 = 24 25 {\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x=\cos ^{2}x+\sin ^{2}x-(\sin x-\cos x)^{2}=1-{\frac {1}{25}}={\frac {24}{25}}} .
Calculer en fonction de a {\displaystyle a} et b {\displaystyle b} , l'expression :
A = a cos 2 θ + b sin 2 θ {\displaystyle A=a\cos 2\theta +b\sin 2\theta } connaissant :
tan θ = a b {\displaystyle \tan \theta ={\frac {a}{b}}} .
Solution
A = a 1 − a 2 b 2 1 + a 2 b 2 + b 2 a b 1 + a 2 b 2 = a ( b 2 − a 2 ) + 2 a b 2 a 2 + b 2 = a 3 b 2 − a 2 a 2 + b 2 {\displaystyle A=a{\frac {1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}{1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}+b{\frac {2{\frac {a}{b}}}{1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}={\frac {a(b^{2}-a^{2})+2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=a{\frac {3b^{2}-a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}} .