Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques réciproques

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Argument cosinus hyperbolique

Propriété

cosh établit une bijection de $\mathbb {R} ^{+}$ sur $\left[1,+\infty \right[$.

Définition

On définit la fonction argument cosinus hyperbolique, notée arcosh la réciproque de $\cosh |_{\mathbb {R} ^{+}}$.

Début d’un théorème

Expression explicite de arcosh

$\forall x\in [1,+\infty [\quad \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$.

Fin du théorème

Démonstration

Posons $v=\operatorname {arcosh} x$.

$x=\cosh v={\operatorname {e} ^{v}+\operatorname {e} ^{-v} \over 2}={Y^{2}+1 \over 2Y}$ avec $Y=\operatorname {e} ^{v}$.

$v\geq 0$ donc $Y\geq 1$ donc $x\leq Y$.

$Y^{2}-2xY+1=0$, donc $Y=x+{\sqrt {x^{2}-1}}$, donc $v=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})$.

Une deuxième méthode consiste à utiliser que $\cosh ^{2}v-\sinh ^{2}v=1$, ce qui donne $\operatorname {e} ^{v}=\cosh v+\sinh v=x+{\sqrt {x^{2}-1}}$.

Une troisième méthode consiste à vérifier que les deux fonctions ont même valeur en 1 et même dérivée.

 

Argument sinus hyperbolique

Propriété

sinh est une bijection de $\mathbb {R}$ sur $\mathbb {R}$.

Définition

On définit la fonction argument sinus hyperbolique, notée arsinh la réciproque de $\sinh$.

Début d’un théorème

Expression explicite de arsinh

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$.

Fin du théorème

Démonstration

Posons $u=\operatorname {arsinh} x$.

$x=\sinh u={\operatorname {e} ^{u}-\operatorname {e} ^{-u} \over 2}={X^{2}-1 \over 2X}$ avec $X=\operatorname {e} ^{u}>0$.

$X^{2}-2xX-1=0$ donc $X=x+{\sqrt {x^{2}+1}}$ donc $u=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$.

Une deuxième méthode consiste à utiliser que $\cosh ^{2}u-\sinh ^{2}u=1$, ce qui donne $\operatorname {e} ^{u}=\sinh u+\cosh u=x+{\sqrt {1+x^{2}}}$.

Une troisième méthode consiste à vérifier que les deux fonctions ont même valeur en 0 et même dérivée.

 

Argument tangente hyperbolique

Propriété

tanh établit une bijection de $\mathbb {R}$ sur ]–1, 1[.

Définition

On définit la fonction argument tangente hyperbolique, notée artanh la réciproque de $\tanh$.

Début d’un théorème

Expression explicite de artanh

$\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$.

Fin du théorème

Démonstration

Posons $w=\operatorname {artanh} x$.

$x=\tanh w={\operatorname {e} ^{w}-\operatorname {e} ^{-w} \over \operatorname {e} ^{w}+\operatorname {e} ^{-w}}={Z-1 \over Z+1}$ avec $Z=\operatorname {e} ^{2w}$.

$Z={1+x \over 1-x}$ donc $w={1 \over 2}\ln {1+x \over 1-x}$.

(Une autre méthode consiste à vérifier que les deux fonctions ont même valeur en 0 et même dérivée.)

 

Dérivabilité

Propriété

• arcosh est dérivable sur $]1,+\infty [$ et $\forall x\in \left]1,+\infty \right[\quad \operatorname {arcosh} 'x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
• arsinh est dérivable sur $\mathbb {R}$ et $\forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} 'x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$
• artanh est dérivable sur ]–1, 1[ et $\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \operatorname {artanh} 'x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

Composition des fonctions hyperboliques directes et réciproques

Début d’un théorème

Théorème

• $\forall x\in [1,+\infty [\quad \sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$
• $\forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arcosh} (\cosh x)=|x|$
• $\forall x\in [1,+\infty [\quad \tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$
• $\forall x\in \mathbb {R} \quad \cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {x^{2}+1}}$
• $\forall x\in \mathbb {R} \quad \tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$
• $\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• $\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Fin du théorème