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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Trigonométrie hyperbolique : Fonctions hyperboliques Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Remarque
L'axe des ordonnées (ou droite d'équation x = 0) est axe de symétrie de la fonction ou y(x) = y(-x) : la fonction cosinus hyperbolique est paire .
Remarque
La courbe contient une symétrie centrale avec le point de coordonnées (0,0) ou y(-x) = -y(x) : la fonction sinus hyperbolique est impaire .
Remarque
La fonction tangente hyperbolique est impaire .
Somme et différence du cosinus hyperbolique et du sinus hyperbolique
:
∀
x
∈
R
cosh
x
+
sinh
x
=
e
x
et
cosh
x
−
sinh
x
=
e
−
x
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \cosh x+\sinh x=\operatorname {e} ^{x}{\text{ et }}\cosh x-\sinh x=\operatorname {e} ^{-x}}
.
'Démonstration'
Vérifions la première identité (le calcul pour la seconde est analogue).
cosh
x
+
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
+
e
x
−
e
−
x
2
=
e
x
+
e
−
x
+
e
x
−
e
−
x
2
=
2
e
x
2
=
e
x
{\displaystyle \cosh x+\sinh x={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}+{\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}+\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}={\frac {2\operatorname {e} ^{x}}{2}}=\operatorname {e} ^{x}}
.
Début d’un théorème
Théorème
:
cosh
2
−
sinh
2
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}-\sinh ^{2}=1}
.
Fin du théorème
'Démonstration'
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
(
cosh
x
+
sinh
x
)
(
cosh
x
−
sinh
x
)
=
e
x
e
−
x
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=(\cosh x+\sinh x)(\cosh x-\sinh x)=\operatorname {e} ^{x}\operatorname {e} ^{-x}=1}
.
Cette relation possède une interprétation géométrique .
Propriété
Les fonctions
cosh
{\displaystyle \cosh }
,
sinh
{\displaystyle \sinh }
et
tanh
{\displaystyle \tanh }
sont dérivables sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
et :
cosh
′
=
sinh
{\displaystyle \cosh '=\sinh }
;
sinh
′
=
cosh
{\displaystyle \sinh '=\cosh }
;
tanh
′
=
1
cosh
2
=
1
−
tanh
2
{\displaystyle \tanh '={\frac {1}{\cosh ^{2}}}=1-\tanh ^{2}}
.
Propriété
cosh
{\displaystyle \cosh }
est
paire ;
sinh
{\displaystyle \sinh }
et
tanh
{\displaystyle \tanh }
sont
impaires .
(Démonstration immédiate.)
Limite en
−
∞
{\displaystyle -\infty }
Limite en
+
∞
{\displaystyle +\infty }
lim
−
∞
cosh
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{-\infty }\cosh =+\infty }
lim
+
∞
cosh
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{+\infty }\cosh =+\infty }
lim
−
∞
sinh
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{-\infty }\sinh =-\infty }
lim
+
∞
sinh
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{+\infty }\sinh =+\infty }
lim
−
∞
tanh
=
−
1
{\displaystyle \lim _{-\infty }\tanh =-1}
lim
+
∞
tanh
=
1
{\displaystyle \lim _{+\infty }\tanh =1}
Comparaison avec la trigonométrie circulaire
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On remarque une grande symétrie des définitions entre les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques :
Trigonométrie circulaire
Trigonométrie hyperbolique
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
{\displaystyle \cos x={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}+\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \cosh x={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}}
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle \sin x={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2\mathrm {i} }}}
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \sinh x={\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}}
tan
=
sin
cos
{\displaystyle \tan ={\frac {\sin }{\cos }}}
tanh
=
sinh
cosh
{\displaystyle \tanh ={\frac {\sinh }{\cosh }}}
cos
2
+
sin
2
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}+\sin ^{2}=1}
cosh
2
−
sinh
2
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}-\sinh ^{2}=1}
cos
′
=
−
sin
{\displaystyle \cos '=-\sin }
cosh
′
=
sinh
{\displaystyle \cosh '=\sinh }
sin
′
=
cos
{\displaystyle \sin '=\cos }
sinh
′
=
cosh
{\displaystyle \sinh '=\cosh }
tan
′
=
1
cos
2
=
1
+
tan
2
{\displaystyle \tan '={\frac {1}{\cos ^{2}}}=1+\tan ^{2}}
tanh
′
=
1
cosh
2
=
1
−
tanh
2
{\displaystyle \tanh '={\frac {1}{\cosh ^{2}}}=1-\tanh ^{2}}
On se demande alors s'il n'y aurait pas un moyen pratique facile de passer d'une trigonométrie à l'autre.
Début d’un principe
« Recette de cuisine »
On connaît une formule de trigonométrie circulaire et on aimerait trouver un équivalent en trigonométrie hyperbolique.
On écrit la formule en trigonométrie circulaire.
On remplace :
sin par i sinh , où i 2 = –1
cos par cosh
tan par i tanh
Les i doivent se simplifier et l'on obtient la formule en trigonométrie hyperbolique.
On fait la preuve de la formule en utilisant les exponentielles, maintenant qu'on sait dans quelle direction faire le calcul.
Fin du principe
Début de l'exemple
Exemple
Soit
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
. On voudrait exprimer
sinh
(
2
x
)
{\displaystyle \sinh(2x)}
en fonction de
sinh
x
{\displaystyle \sinh x}
et
cosh
x
{\displaystyle \cosh x}
:
sin
(
2
x
)
=
2
sin
x
cos
x
{\displaystyle \sin(2x)=2\sin x\cos x}
On effectue les remplacements : i sinh (2x ) = 2i sinh x cosh x donc sinh (2x ) = 2 sinh x cosh x
On fait la preuve :
2
sinh
x
cosh
x
=
2
(
e
x
−
e
−
x
)
2
(
e
x
+
e
−
x
)
2
=
1
2
(
e
2
x
−
e
−
2
x
)
=
sinh
(
2
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}2\sinh x\cosh x&=2{\frac {(\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x})}{2}}{\frac {(\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}(\operatorname {e} ^{2x}-\operatorname {e} ^{-2x})\\&=\sinh(2x).\end{aligned}}}
Fin de l'exemple
Lien avec la trigonométrie complexe
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Les fonctions
cos
{\displaystyle \cos }
,
sin
{\displaystyle \sin }
,
cosh
{\displaystyle \cosh }
et
sinh
{\displaystyle \sinh }
sont définies (voir supra ) à partir de la fonction exponentielle donc sont en fait, comme elle, définies non seulement sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
mais sur
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, et sont alors (par définition même) reliées par les formules suivantes :
Relations entre fonctions circulaires et fonctions hyperboliques
Pour tout nombre complexe
z
{\displaystyle z}
,
cos
z
=
cosh
(
i
z
)
et
i
sin
z
=
sinh
(
i
z
)
{\displaystyle \cos z=\cosh(\mathrm {i} z)\quad {\text{et}}\quad \mathrm {i} \sin z=\sinh(\mathrm {i} z)}
ou encore :
cosh
z
=
cos
(
i
z
)
et
sinh
z
=
−
i
sin
(
i
z
)
.
{\displaystyle \cosh z=\cos(\mathrm {i} z)\quad {\text{et}}\quad \sinh z=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} z).}
Ces relations expliquent et justifient la « recette de cuisine » de la section précédente et dispensent de sa troisième étape (« on fait la preuve »).