Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques
Définitions
modifierCosinus hyperbolique
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L'axe des ordonnées (ou droite d'équation x = 0) est axe de symétrie de la fonction ou y(x) = y(-x) : la fonction cosinus hyperbolique est paire.
Sinus hyperbolique
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La courbe contient une symétrie centrale avec le point de coordonnées (0,0) ou y(-x) = -y(x) : la fonction sinus hyperbolique est impaire.
Tangente hyperbolique
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Propriétés
modifierSomme et exponentielle
modifierVérifions la première identité (le calcul pour la seconde est analogue).
- .
Relation fondamentale
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- .
Cette relation possède une interprétation géométrique.
Dérivabilité
modifierVariations
modifier- est strictement croissante (sur ).
- est strictement décroissante sur et strictement croissante sur .
- est strictement croissante (sur ).
Soit
- Variations de :
- donc est strictement croissante.
- De plus, donc est du signe de (au sens strict).
- Variations de :
- est du signe de au sens strict.
- Donc est strictement décroissante sur et strictement croissante sur .
- Variations de :
- donc est strictement croissante.
(Démonstration immédiate.)
Limites
modifierLimite en | Limite en |
---|---|
En , est dominée par donc et sont équivalentes à . Donc elles tendent vers et leur quotient, , tend vers .
Les limites en s'en déduisent, par parité de et imparité de et .
Comparaison avec la trigonométrie circulaire
modifierOn remarque une grande symétrie des définitions entre les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques :
Trigonométrie circulaire | Trigonométrie hyperbolique |
---|---|
On se demande alors s'il n'y aurait pas un moyen pratique facile de passer d'une trigonométrie à l'autre.
On connaît une formule de trigonométrie circulaire et on aimerait trouver un équivalent en trigonométrie hyperbolique.
- On écrit la formule en trigonométrie circulaire.
- On remplace :
- sin par i sinh, où i2 = –1
- cos par cosh
- tan par i tanh
- Les i doivent se simplifier et l'on obtient la formule en trigonométrie hyperbolique.
- On fait la preuve de la formule en utilisant les exponentielles, maintenant qu'on sait dans quelle direction faire le calcul.
Soit . On voudrait exprimer en fonction de et :
- On effectue les remplacements : i sinh(2x) = 2i sinhx coshx donc sinh(2x) = 2 sinhx coshx
- On fait la preuve :
Lien avec la trigonométrie complexe
modifierLes fonctions , , et sont définies (voir supra) à partir de la fonction exponentielle donc sont en fait, comme elle, définies non seulement sur mais sur , et sont alors (par définition même) reliées par les formules suivantes :
Pour tout nombre complexe ,
ou encore :
Les deux premières identités résultent directement des expressions de , , et en termes d'exponentielles. Les deux autres s'en déduisent par changement de variable : si alors et les deux premières formules deviennent :
- et
donc par parité de et imparité de (sur comme sur )
- et .
Ces relations expliquent et justifient la « recette de cuisine » de la section précédente et dispensent de sa troisième étape (« on fait la preuve »).