Une compétence en seconde - Résoudre un problème utilisant des fonctions/Définir la compétence

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Compétence Quesako ?

La genèse du socle

En une génération, l'école a obtenue des résultats remarquables. Notamment elle a permis l'entrée en classe de sixième de toute une classe d'âge avec l'instauration du collège unique. De même le taux de réussite au bac a largement explosé.

L'article 9 de la loi du 23 avril 2005 a arrêté le principe d'un socle commun de savoirs indispensables à tout élève au moment de sa sortie du système scolaire.

Par le décret n°2006-830 du 11 juillet 2006, le ministère de l'éducation français a défini le contenu de ce socle.

Savoirs

Les programmes de mathématiques bien que définis actuellement en termes de capacités mettent en avant des connaissances à travers la colonne contenus.

Ces contenus sont une indication des thèmes à aborder tout au long de l'année et ainsi des connaissances à traiter. Il paraît intéressant de faire un distinguo entre les connaissances et les habilités ou compétences.

Définir une connaissance

Une connaissance

Une connaissance est une information stockée dans la mémoire de l'individu qui sera transcrite telle quelle, c’est-à-dire sans transformation mentale réalisée ou interprétation.

Le cours de mathématiques est bien souvent structuré de telle façon que les connaissances apparaissent clairement. Elles sont présentées sous la forme de définitions, de propriétés ou d'égalités.

Lors d'un oral de baccalauréat, il a été demandé à un élève la différence entre une définition et une propriété. Sur le moment, vous aurait-il été facile de proposer une réponse adaptée ? Nous allons essayer de faire une comparaison des deux.

Connaissance ou habileté

Il est parfois difficile de faire un distinguo entre connaissance et habilité. On pourrait voir l'habileté comme l’utilisation d'une connaissance mise en pratique dans une situation d'exercice.

Prenons un exemple simple avec les identités remarquables. On peut demander aux élèves de compléter l'égalité bien connue de nos élèves $(a+b)^{2}=$, il s'agit alors d'une connaissance. Le problème suivant ne fait plus appel à une connaissance mais à une habileté :

Développer $(2x+3)^{2}$

Il s'agit alors d’utiliser la connaissance mais appliquée à un exercice. L'habileté peut être vue comme un savoir-faire utilisant une connaissance pour résoudre un problème donné.

L'habileté demande à interpréter la situation en lien avec une connaissance et d'appliquer un raisonnement. Dans le cas de notre exemple, l'élève va devoir :

1. reconnaître qu’il s'agit d'une identité remarquable,
2. déterminer les nombres $a$ et $b$
3. remplacer les nombres $a$ et $b$ dans la deuxième partie de l'égalité,
4. et simplifier l'écriture obtenue, si cela est devenu un automatisme.

Décrire les connaissances

En s'appuyant sur les programmes tels qu’ils sont édités par le ministère de l'éducation nationale français, nous allons présenter les différents thèmes en lien avec la compétence recherchée.

Fonctions

Le document présente un contenu nommé Fonctions. Il ne s’agit évidemment pas de donner une définition du mot fonction mais de présenter certains termes comme image, antécédent, ou courbe représentative.

On ne peut se passer des définitions de :

• image de $x$ par la fonction $f$,
• antécédent de $y$ par la fonction $f$,
• courbe représentative de la fonction $f$.

La notion de fonction est difficile à comprendre pour un élève. Il a fallu d'ailleurs aux mathématiciens plusieurs siècles pour fixer une définition. Descartes et Fermat, dans la première moitié du XVIIème siècle ont introduit des relations fonctionnelles par l'intermédiaire d'équations afin de résoudre des problèmes de géométrie. Il faudra attendre la moitié du siècle suivant pour avoir une définition même si de nombreux mathématiciens s'intéressent aux courbes.

Les élèves sont invités à utiliser les différentes représentions des fonctions, voir passer de l'une à l'autre :

• Expression analytique de la fonction
• Courbe représentative
• Tableaux de valeurs
• Voire relation fonctionnelle

Étude qualitative de fonctions

L’étude qualitative concerne l’étude des variations d’une fonction, à savoir si elle est croissante et décroissante et par extension à l’étude des minima et maxima.

On peut donc relever les connaissances suivantes :

• fonction constante
• fonction croissante
• fonction décroissante

La maîtrise de ces définitions est un des objectifs de la fin de l’année de seconde. Toutefois, on peut s'appuyer sur les définitions et évaluer leur acquisition à travers des évaluations de type vrai-faux.

Début de l'exemple

Exemple

Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses et justifier la réponse.

1. On considère la fonction $f:x\mapsto 4x$ définie sur $[2;5]$ strictement croissante. Pour tout réel $x$ de $[2;5]$, on a $8\leq f(x)\leq 20$.
2. La fonction $g:x\mapsto -2x+3$ définie sur $[2;5]$ est strictement croissante.

Fin de l'exemple

La première affirmation est une application de la définition. L'élève est amené à traduire $x\in [2;5]$, puis à utiliser la définition de la croissance pour écrire $f(2)\leq f(x)\leq f(5)$ et enfin conclure.

Pour la deuxième affirmation, il s'agit de la mettre en défaut. Le plus simple étant de prendre un contre-exemple. L'élève peut par exemple calculer $f(2)=-1$ et $f(5)=-7$ et remarquer que $f(2)>f(5)$, ce qui contredit la définition de la croissance.

Fonction linéaire, fonction affine

Bien qu’elles soient étudiées en classe de troisième, les fonctions affines et le cas particulier des fonctions linéaires sont revues en classe de seconde. Non seulement on redonne la définition mais on complète par l’étude des variations et du signe.

Les connaissances en elles-mêmes sont assez rapides :

• formule générale d’une fonction affine,
• nature de la représentation graphique d’une fonction affine,
• sens de variation et signe du coefficient directeur.

Concernant le sens de variation, on peut citer la propriété suivante :

Soit $f$ une fonction affine, $a$ et $b$ deux nombres tels que pour tout réel $x$ on a $f(x)=ax+b$.

• Si $a>0$, alors $f$ est strictement croissante,
• si $a=0$, alors $f$ est constante,
• si $a<0$, alors $f$ est strictement décroissante.

Concernant ce point précis, il peut être intéressant de se pencher de nouveau quelques instants sur la différence entre une connaissance et une habileté. Voici deux exemples d’énoncé.

Début de l'exemple

Exemple

1. Soient $a$ et $b$ deux nombres et $f$ une fonction telle que pour tout réel $x$, $f(x)=ax+b$. Si $a<0$, quel est le sens de variation de la fonction $f$ ?
2. Soit $f$ une fonction telle que pour tout réel $x$, $f(x)=-2x+3$. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ .

Fin de l'exemple

Les deux questions précédentes ne se trouvent pas au même niveau de difficulté. La première question correspond à une question de cours faisant appel aux connaissances de l’élève alors que pour la deuxième question l’élève doit montrer son habileté. Non seulement il doit faire appel à ses connaissances, mais il doit aussi associer -2 au coefficient de la fonction permettant de conclure.

Aux connaissances déjà citées, on peut ajouter des connaissances secondaires qui peuvent être utiles pour des élèves en difficulté.

• formule du taux d’accroissement afin de déterminer le coefficient de la fonction.
• solution de l’équation $f(x)=0$ d’inconnue $x$.
• lien entre signe et coefficient de la fonction.

La formule du taux d’accroissement permettra notamment de déterminer l’expression de la fonction. Bien qu’on puisse s’en passer en classe de seconde, son utilisation récurrente en première et en terminale lors de l’étude des tangentes incite à donner la formule et à l’utiliser régulièrement.

Pour les deux derniers points, il est possible de donner les deux propriétés suivantes :

Pour toute fonction $f$ affine telle que $f(x)=ax+b$ avec $a\neq 0$, l’équation $f(x)=0$ d’inconnue $x$ a pour solution ${\dfrac {-b}{a}}$.

et le corollaire :

Pour toute fonction $f$ affine telle que $f(x)=ax+b$ avec $a\neq 0$,

• si $x>{\dfrac {-b}{a}}$, alors $f(x)$ est du signe de $a$
• si $x<{\dfrac {-b}{a}}$, alors $f(x)$ est du signe de $-a$

Fonction carrée, fonction du second degré

Bien que la fonction carrée et la fonction inverse soient dans un même contenu, il parait plus satisfaisant de déconnecter les fonctions du second degré dont la fonction carrée est un cas particulier et les fonctions homographiques qui ne sont pas traitées de la même façon.

Concernant les savoirs, on peut citer :

• terme général
• Sens de variation d’une fonction du second degré, lien avec le coefficient de plus au degré.
• Courbe représentative de la fonction
• Propriété de symétrie de la courbe
• Abscisse du sommet de la parabole.

On remarquera que le programme précise que la forme canonique n’est pas un attendu du programme cependant on peut donner les habiletés suivantes :

• Développer un polynôme du second degré sous sa forme factorisée.
• Développer un polynôme du second degré sous sa forme canonique.
• Déterminer les coordonnées du sommet d’une parabole à partir de la forme canonique de la fonction polynomiale associée.

Concernant la forme canonique, de nombreux exercices peuvent être donnés sous cette forme :

On considère la fonction $f:x\mapsto 4x^{2}-24x+31$ définie sur $\mathbb {R}$.
1. Montrer que pour tout réel $x$, on a $f(x)=4(x-3)^{2}-5$
2. En déduire les coordonnées du sommet de la courbe représentative de $f$

Fonction inverse, fonction homographique

Les savoirs liés aux fonctions homographiques sont très limités, en fait il n’y en a qu’un seul : Connaître les variations de la fonction inverse.

Le reste du travail à mener concerne l'étude des fonctions homographiques à travers des exemples. Même la définition en soit peut être évitée.

Savoirs faire

Le plus souvent on entend savoirs faire comme habileté. Fin des années 1990 et début des années 2000, alors que la pédagogie par objectifs était le modèle utilisé par la plupart des professeurs, cela se traduisait par une liste exhaustive d'objectifs opérationnels ou savoirs faire que l'élève allait devoir apprendre et utiliser comme des réflexes.

Ici, nous nous éloignerons de cette définition en nous rapprochant de la notion de processus cognitif, c’est-à-dire de l’ensemble des opérations mentales mises en œuvre pour saisir, stocker et traiter l'information afin de répondre au problème posé.