Trigonométrie/Théorème du cosinus

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Le théorème du cosinus (aussi appelé théorème de Pythagore généralisé) est applicable à des triangles non rectangles. Historiquement, ce théorème est attribué au mathématicien perse Al-Kashi (1380 - 1429) mais semble avoir été connu dès l'Antiquité. Ce théorème est connu, en France, sous le nom de théorème d'Al-Kashi.

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L'énoncé du théorème du cosinus, en français, est le suivant :

Dans un triangle quelconque, le carré de la longueur d'un des côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, à laquelle il faut algébriquement soustraire le double produit des longueurs de ces deux autres côtés multiplié par le cosinus de l'angle opposé au côté initial.

Rappel du théorème de Pythagore

Triangle quelconque.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

La longueur de l'hypoténuse est égale à la racine de la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Dans cet exemple, $c^{2}=h^{2}+l^{2}$ et $a^{2}=h^{2}+m^{2}$

Le théorème de Pythagore généralisé

Afin d'exprimer le côté $a$ en fonction des deux autres côtés $b$ et $c$ et de l'angle opposé $\alpha$, nous avons besoin des égalités suivantes :

• $b=l+m\Rightarrow m=b-l$
• $\cos(\alpha )={\frac {l}{c}}\Rightarrow l=c\cos(\alpha )$

Nous arrivons donc au résultat suivant :

${\begin{aligned}a^{2}&=h^{2}+m^{2}\\&=h^{2}+(b-l)^{2}\\&=h^{2}+l^{2}+b^{2}-2bl\\a^{2}&=c^{2}+b^{2}-2bc\cos(\alpha )\end{aligned}}$

Début d’un théorème

Théorème d'Al-Kashi

$a^{2}=c^{2}+b^{2}-2bc\cos(\alpha )$

Fin du théorème

Les expressions des deux autres côtés $b$ et $c$ sont les suivantes :

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )\Longrightarrow b={\sqrt {a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )}}$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\Longrightarrow c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}}$