Trigonométrie/Théorème du cosinus

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Le théorème du cosinus (aussi appelé théorème de Pythagore généralisé) est applicable à des triangles non rectangles. Historiquement, ce théorème est attribué au mathématicien perse Al-Kashi (1380 - 1429) mais semble avoir été connu dès l'Antiquité. Ce théorème est connu, en France, sous le nom de théorème d'Al-Kashi.

Théorème du cosinus
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Chapitre no 8
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Relations trigonométriques
Chap. suiv. :Théorème du sinus
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Trigonométrie/Théorème du cosinus
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L'énoncé du théorème du cosinus, en français, est le suivant :

Dans un triangle quelconque, le carré de la longueur d'un des côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, à laquelle il faut algébriquement soustraire le double produit des longueurs de ces deux autres côtés multiplié par le cosinus de l'angle opposé au côté initial.

Rappel du théorème de Pythagore modifier

 
Triangle quelconque.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

La longueur de l'hypoténuse est égale à la racine de la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Dans cet exemple,   et  .

Le théorème de Pythagore généralisé modifier

Afin d'exprimer le côté   en fonction des deux autres côtés   et   et de l'angle opposé  , nous avons besoin des égalités suivantes :

  •   ;
  •  .

Nous arrivons donc au résultat suivant :

 


Début d’un théorème
Fin du théorème

Les expressions des deux autres côtés   et   sont les suivantes :