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Ce contenu s'appuie sur le chapitre Nombre dérivé du manuel Dérivation des fonctions, disponible sur Wikibooks.

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Activité d’introduction

Un dragster atteint la vitesse de 360 km/h en 10 s. En supposant l'accélération constante, on démontre que cela exerce sur le pilote une poussée horizontale sensiblement égale à son propre poids, et que la distance (en mètres) au point de départ du dragster est donnée par la fonction :

$d(t)=5t^{2}$

On se propose de calculer la vitesse du dragster après 3 secondes.

1. Quelle est la distance parcourue en 10 secondes ?

2. Représenter graphiquement d en fonction de t.

3. Donner la formule qui donne la vitesse moyenne du dragster entre les instants $3$ et $3+h$.

$V_{m}(3;3+h)=\dots$

4. Calculer cette vitesse moyenne pour h donné dans le tableau ci-dessous (en m.s^-1).

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}h&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\\hline V_{m}(3;3+h)&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{array}}$

5. D'après le tableau, que peut-on dire de $V_{m}$ quand h devient petit ?

6. Que représente physiquement cette quantité ?

Solution

1. Quelle est la distance parcourue en 10 secondes ?

En utilisant la formule donnée, la distante parcourue en 10 secondes est :

$d\left(10\right)=5\times 10^{2}=500\;\mathrm {m}$

2. Représenter graphiquement d en fonction de t ci-dessous.

3. Donner la formule qui donne la vitesse moyenne du dragster entre les instants $3$ et $3+h$

La vitesse moyenne entre deux instants est égale au rapport de la distance parcourue sur la durée. Ainsi :

${\begin{aligned}V_{m}\left(3;\,3+h\right)&={\frac {d(3+h)-d(3)}{(3+h)-(3)}}\\\ &={\frac {5(3+h)^{2}-5(3)^{2}}{h}}\\\ &={\frac {5(9+h^{2}+6h)-45}{h}}\\\ &={\frac {45+5h^{2}+30h-45}{h}}\\\ &=5h+30\end{aligned}}$

4. Calculer cette vitesse moyenne pour h donné dans le tableau ci-dessous (en m.s^-1).

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}h&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\\hline V_{m}(3;3+h)&35&30,5&30,05&30,005&30,0005&30,000\,5\end{array}}$

5. D'après le tableau, que peut-on dire de $V_{m}$ quand h devient petit ?

Lorsque h devient petit, $V_{m}$ se rapproche de plus en plus de 30 m.s^-1

6. Que représente physiquement cette quantité ?

On regarde la vitesse moyenne sur un intervalle de plus en plus petit autour de la valeur à t = 3 s. Lorsque h devient très petit, $V_{m}$ représente donc la vitesse instantanée à t = 3 s.

 

Nombre dérivé

On réutilise la notion d'accroissement moyen sur un intervalle $[x;x+h]$ où $h\in \mathbb {R}$.

L'accroissement moyen de ƒ sur l'intervalle $[x;x+h]$ vaut ${\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Comme ce qui nous intéresse est la tangente, et non une corde, on va diminuer h. Cette manipulation a pour effet de rapprocher les deux points A et B. On s'aperçoit alors que, ce faisant, la corde (AB) se rapproche de plus en plus de la position de la tangente en A à la courbe de ƒ.

Ainsi, lorsque h devient extrêmement petit :

• (AB) se confond avec la tangente en A à la courbe de ƒ
• l'accroissement moyen de ƒ sur l'intervalle $[x;x+h]$ vaut le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe de ƒ

Faites ces exercices : Cordes et tangentes.

On introduit ainsi la notion de nombre dérivé :

Définition

La limite de l'accroissement moyen de ƒ entre $a$ et $a+h$ lorsque $h$ tend vers 0 est appelée nombre dérivé de ƒ en $x=a$ et noté $f'(a)$.

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

On dispose donc d'un outil permettant d'obtenir le taux d'accroissement d'une fonction, c'est-à-dire le coefficient directeur de la tangente à sa courbe, en tout point de l'intervalle de définition.

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