Fonction dérivée/Équation d'une tangente
Exemple
modifierOn a tracé la courbe représentative d'une fonction ƒ dont on ne précise pas la formule algébrique.
On donne :
et
Tracer la tangente à la courbe de ƒ au point
Calculer une équation de cette tangente en utilisant la formule donnant l'équation d'une droite connaissant un point et le coefficient directeur.
- On pose l'équation de la tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse -2.
- On sait que le nombre dérivé de ƒ en -2 vaut , donc
- La droite passe par le point de coordonnées , donc
- On aboutit à .
Finalement, l'équation de la tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse -2 est
Équation d'une tangente
modifierOn adapte la formule utilisée précédemment de façon à obtenir une formule donnant directement l'équation de la tangente à une courbe connaissant le nombre dérivé et la valeur de la fonction au point considéré.
La tangente est la droite passant par le point et de coefficient directeur .
Un autre point appartient à cette droite si et seulement si :
- ,
c'est-à-dire
- .
La tangente a donc bien pour équation
- .
Complément : si ou alors n’est pas dérivable en , mais la courbe a encore une tangente au point : la droite verticale d'équation .
Approximation affine d'une fonction dérivable en un point
modifierFaites ces exercices : Approximation affine locale. |
Pour voisin de , est proche de la fonction affine (la courbe est très proche de sa tangente).
Cette approximation ne peut être faite qu'au voisinage du point d'abscisse car elle traduit le fait que, au voisinage de , la courbe de ƒ peut être assimilée à sa tangente avec peu d'erreur. |
Cette propriété est utile pour les méthodes de résolution numérique d'équations différentielles comme la méthode d'Euler.