Variables aléatoires continues/Loi uniforme

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Présentation

La loi uniforme est la loi de probabilité continue la plus simple, définie sur un intervalle borné $[a,b]$. Elle est utilisée pour modéliser une variable répartie uniformément sur un ensemble borné.

Définition

La loi uniforme est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité.

Définition

La densité de probabilité d'une variable aléatoire continue suivant une loi uniforme ${\mathcal {U}}([a,b])$ est :

$f(x)={\frac {1}{b-a}}1_{[a,b]}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{ si }}a\leq x\leq b\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

Définition

La loi ${\mathcal {U}}([0,1])$ est couramment appelée loi uniforme standard.

Densité

Densités de loi uniforme.

La fonction de densité d'une loi uniforme est une fonction-porte, c'est-à-dire qu'elle est constante sur un intervalle fini, et nulle ailleurs.

Fonction de répartition

Fonctions de répartition de lois uniformes.

Proposition

La fonction de répartition d'une loi uniforme ${\mathcal {U}}([a,b])$ est :

$F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\text{si}}\ x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{si}}\ a\leq x<b\\1&{\text{si}}\ x\geq b.\end{cases}}$

Elle est donc continue, mais non dérivable en $a$ et $b$.

Moments

Fonction génératrice des moments

Début d’un théorème

Théorème

La fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire continue $X$ suivant une loi uniforme ${\mathcal {U}}([a,b])$ est :

$M_{X}(t)={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}$.

Fin du théorème

Démonstration

$M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{tX}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{tx}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{b-a}}\left[{\frac {\mathrm {e} ^{tx}}{t}}\right]_{a}^{b}={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}$.

 

Corollaire

Le moment d'ordre $k$ d'une variable aléatoire continue $X$ suivant une loi uniforme ${\mathcal {U}}([a,b])$ est :

$\mathbb {E} \left(X^{k}\right)={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}$.

Démonstration

$M_{X}(t)={\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}={\frac {1}{t(b-a)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}(b^{n}-a^{n})}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n-1}(b^{n}-a^{n})}{n!(b-a)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\times {\frac {b^{k+1}-a^{k+1}}{(k+1)(b-a)}}$

donc

$\mathbb {E} \left(X^{k}\right)=M_{X}^{(k)}(0)={\frac {b^{k+1}-a^{k+1}}{(k+1)(b-a)}}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}$.

 

Espérance

Proposition

L'espérance d'une variable aléatoire continue $X$ suivant une loi uniforme ${\mathcal {U}}([a,b])$ est :

$\mathbb {E} (X)={\frac {a+b}{2}}$.

Démonstration

$\mathbb {E} (X)={\frac {1}{1+1}}\sum _{i=0}^{1}a^{i}b^{1-i}={\frac {a+b}{2}}$.

 

Variance et écart-type

Proposition

La variance d'une variable aléatoire continue $X$ suivant une loi uniforme ${\mathcal {U}}([a,b])$ est :

$\mathrm {V} (X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$.

Démonstration

$\mathbb {E} (X^{2})={\frac {1}{2+1}}\sum _{i=0}^{2}a^{i}b^{2-i}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}$

d'où :

$\mathrm {V} (X)=\mathbb {E} (X^{2})-\left(\mathbb {E} (X)\right)^{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}-{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$.

 

Pourquoi « uniforme »

La notion d'uniformité vient du fait que la probabilité qu'une valeur tirée d'une loi uniforme soit dans un certain intervalle (inclus dans l'intervalle $[a,b]$ support de la densité) ne dépend pas de la position de l'intervalle, mais uniquement de sa longueur h :

$\mathbb {P} (x\leq X\leq x+h)=\int _{x}^{x+h}{\frac {\mathrm {d} t}{b-a}}={\frac {h}{b-a}}$.

D'autre part, on peut noter que n’importe quelle valeur comprise entre $a$ et $b$ est un mode pour la loi uniforme : aucune valeur de l'intervalle $[a,b]$ n'a une probabilité supérieure à une autre d'apparaître.

Applications

Cette loi de probabilité est fondamentale car grâce à sa simplicité, elle est facilement programmable. De plus, grâce au théorème de la transformée inverse, il est possible de simuler d'autres lois de probabilité à partir d'une simulation de la loi uniforme.