Variables aléatoires discrètes/Exercices/Calcul d'une espérance autour de la loi binomiale

Énoncé

On joue à Pile ou Face avec une pièce de monnaie. Dans une première partie on ne connait pas la probabilité de l'évènement Pile, ni celle de Face. On cherche à évaluer la distance entre le nombre de pile et de face obtenus après N lancers. Bien entendu les lancers sont indépendants les uns des autres.

Le problème peut être reformulé comme ceci :

Si X est le nombre de Pile obtenus et Y le nombre de Face obtenus, quelle est la valeur de $\mathbb {E} (|X-Y|)$ ?

Notations

On note :

• $\lfloor x\rfloor$ la partie entière de $x$ ;
• $A^{c}$ l’ensemble complémentaire de $A$ ;
• $X\sim {\mathcal {B}}(N,p)$ si X suit une loi binomiale de paramètre $(N,p)$.

Soit $X\sim {\mathcal {B}}(N,p)$. Pour x un entier naturel compris entre 0 et N, on notera la fonction de répartition $F_{N}(x)=\sum _{i=0}^{x}\mathbb {P} (X=i)$ et sa fonction complémentaire : $\Phi _{N}(x)=1-F_{N}(x)=\sum _{i=x+1}^{N}\mathbb {P} (X=i)$.

Questions

Quelle est la loi de X ? Rappeler son espérance.

Solution

X suit une loi binomiale, de paramètre (N, p). Pour rappel, la fonction de densité de cette loi est donnée par :

$\forall i\in \{0,\cdots ,N\},\mathbb {P} (X=i)={\binom {N}{i}}p^{i}(1-p)^{N-i}$

et $\mathbb {E} (X)=Np$ .

 

X et Y sont elles indépendantes ? Sinon, quelle loi les lie ?

Solution

X et Y ne sont pas indépendantes car elles sont liées par la relation : X + Y = N.

 

En remarquant que $|x-y|=(x-y)1_{x>y}+(y-x)1_{x\leq y}$, trouver une expression de $\mathbb {E} (|X-Y|)$ en fonction de $N$, $p$, $\mathbb {P} (A)$ et $\mathbb {E} (X1_{A})$, où l'événement $A$ est à expliciter et $1_{A}$ désigne sa fonction indicatrice.

Solution

Comme $Y=N-X$,

${\begin{aligned}|X-Y|&=|2X-N|\\&=(2X-N)1_{A}+(N-2X)1_{A^{c}}\\&=(2X-N)1_{A}+(N-2X)\left(1-1_{A}\right)\\&=2(2X-N)1_{A}+N-2X,\end{aligned}}$

où $A=\left[2X>N\right]$. Par conséquent,

$\mathbb {E} (|X-Y|)=4\mathbb {E} (X1_{A})-2N\mathbb {P} (A)+N-2Np$.

 

Exprimer $\mathbb {E} (X1_{A})$ en fonction de $N$, $p$ et $\Phi _{N-1}(a_{N}-1)$ pour un certain entier $a_{N}$ à expliciter.

Solution

La loi $X$ est à valeurs entières donc $A=\left[X>{\frac {N}{2}}\right]=\left[X>\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor \right]$. En posant $a_{N}=\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$, on a donc :

${\begin{aligned}\mathbb {E} (X1_{A})&=\sum _{k=a_{N}+1}^{N}k\mathbb {P} (X=k)\\&=\sum _{k=a_{N}+1}^{N}k{\binom {N}{k}}p^{k}(1-p)^{N-k}\\&=\sum _{k=a_{N}+1}^{N}N{\binom {N-1}{k-1}}p^{k}(1-p)^{N-k}\end{aligned}}$

soit, par glissement d'indice $m=k-1$ :

${\begin{aligned}\mathbb {E} (X1_{A})&=N\,p\,\sum _{m=a_{N}}^{N-1}{\binom {N-1}{m}}p^{m}(1-p)^{N-1-m}\\&=N\,p\,\Phi _{N-1}\left(a_{N}-1\right).\end{aligned}}$

 

Conclusion

En remarquant que $\mathbb {P} (A)=\Phi _{N}(a_{N})$, on peut réécrire de façon plus concise l’expression de l'espérance :

$\mathbb {E} (|X-Y|)=N\left(4p\Phi _{N-1}(a_{N}-1)-2\Phi _{N}(a_{N})+1-2p\right)$.

Application

On suppose ici que $p={\frac {1}{2}}$.

Trouver une expression de $\Phi _{N}(a_{N})$ en fonction de la parité de N.

Solution

Remarquons que pour $p=1/2$, $\mathbb {P} (X=k)={\binom {N}{k}}2^{-N}=\mathbb {P} (X=N-k)$, par la propriété des coefficients binomiaux.

Si N est impair, alors le nombre d'états d'arrivée est pair. Pour mieux le voir, on peut remarquer que de 1 à N on a N états d'arrivée. À ces N états il faut rajouter l'élément 0, donc on a : N + 1 états. Comme N est impair, N + 1 est pair. De la même façon, si N est pair, on a un nombre impair d'états d'arrivée.

• N pair

Si N pair, on remarque que $\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor ={\frac {N}{2}}$. Donc si l'on retire cet état, on peut utiliser la propriété $\mathbb {P} (X=k)=\mathbb {P} (X=N-k)$.

D'où dans ce cas : $\Phi _{N}(a_{N})=F_{N}(a_{N}-1)$, or $\Phi _{N}(a_{N})+F_{N}(a_{N}-1)=1-\mathbb {P} (X=a_{N})$.

On en déduit que $2\Phi _{N}(a_{N})=1-\mathbb {P} (X=a_{N})$, c'est-à-dire $\Phi _{N}(a_{N})={\frac {1-\mathbb {P} (X=a_{N})}{2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\binom {N}{N/2}}{2^{N+1}}}$.

• N impair

Puisque $\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor <{\frac {N}{2}}$ et le nombre d'états est pair, et que la distribution est symétrique :

$\Phi _{N}(a_{N})={\frac {1}{2}}$.

 

Trouver une expression de $\Phi _{N-1}(a_{N}-1)$ en fonction de la parité de N.

Solution

Par un raisonnement analogue :

• Si N est impair, $\Phi _{N-1}(a_{N}-1)={\frac {1}{2}}+{\frac {\binom {N-1}{(N-1)/2}}{2^{N}}}$ ;
• Si N est pair, $\Phi _{N-1}(a_{N}-1)={\frac {1}{2}}$.

 

Conclure en donnant une expression de l'espérance recherchée.

Solution

Réécrivons la formule de l'espérance avec le paramètre $p=1/2$ :

$\mathbb {E} (|X-Y|)=2N\left(\Phi _{N-1}(a_{N}-1)-\Phi _{N}(a_{N})\right)$.

• Si N est pair, $\mathbb {E} (|X-Y|)=2N\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {\binom {N}{N/2}}{2^{N+1}}}\right)={\frac {N{\binom {N}{N/2}}}{2^{N}}}$.
• Si N est impair, $\mathbb {E} (|X-Y|)=2N\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\binom {N-1}{(N-1)/2}}{2^{N}}}-{\frac {1}{2}}\right)={\frac {N{\binom {N-1}{(N-1)/2}}}{2^{N-1}}}$.

Dans les deux cas,

$\mathbb {E} (|X-Y|)={\frac {N{\binom {2a_{N}}{a_{N}}}}{4^{a_{N}}}}$.