Variables aléatoires sur les ensembles finis/Épreuve de Bernoulli

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Épreuve de Bernoulli

Définition

Une épreuve de Bernoulli de paramètre p (réel compris entre 0 et 1) est une expérience aléatoire (c'est-à-dire soumise au hasard) comportant deux issues :

• le succès
• l'échec

Le réel p représente la probabilité d'un succès. Le réel q = 1 - p représente la probabilité d'un échec.

Exemples

• Le lancer d'une pièce équilibrée est une expérience de Bernoulli de paramètre 0,5. Si le « succès » est l'obtention de pile, « l'échec » sera l'obtention de face.
• On tire au hasard une boule dans une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On considère comme un succès le fait de tirer une boule noire. Cette expérience est une expérience de Bernoulli de paramètre 0,3 car la probabilité de tirer une boule noire est de 3/10.

Loi de Bernoulli

Définition

On peut définir une variable aléatoire X prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec.

Cette variable aléatoire suit une loi de Bernoulli.

La loi de probabilité ci-dessous est la loi de Bernoulli de paramètre p :

Issue	Succès	Échec
Probabilité	p	1 – p

Espérance et variance

Début d’un théorème

Théorème

Une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$ a pour espérance $E(X)=p$ et pour variance $V(X)=pq$.

Fin du théorème

Démonstration

$E(X)=p\times 1+q\times 0=p$ et $V(X)=p\times (1-p)^{2}+q\times (0-p)^{2}=pq(q+p)=pq$.

 

Début de l'exemple

Exemple

Calculer l'espérance et la variance d'une loi de Bernoulli de paramètre 1/3.

Solution

$E(X)={\frac {1}{3}}$ et $V(X)={\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {2}{9}}$.

 

Fin de l'exemple

Schéma de Bernoulli

Pour schématiser la succession de plusieurs expériences de Bernoulli indépendantes, on peut construire un arbre de probabilité comportant 2ⁿ rameaux finaux. Cet arbre s’appelle un schéma de Bernoulli.