Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Équation différentielle linéaire du deuxième ordre avec second membre

Définition

Notations et définitions

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre normalisée sur $I$ toute équation de la forme

$(E):x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t)$

où $I$ est un intervalle de $\mathbb {R}$ et $a,b,c$ appartiennent à C⁰(I, K).

Début de l'exemple

Exemple

$y''-xy=0$, normalisée sur $\mathbb {R}$

$xy''-y=0$, normalisable sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ ou $\mathbb {R} _{-}^{*}$.

Fin de l'exemple

Théorème fondamental : existence et unicité

Début d’un théorème

Théorème d'existence et d'unicité

Si t₀ ∈ I et (x₀, x₁) ∈ K², l’équation

(E) : $x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t)$

où $a,b,c$ ∈ C⁰ (I,K) possède une unique solution, définie sur $I$, vérifiant la condition initiale :

• $x(t_{0})=x_{0}$ ;
• $x'(t_{0})=x_{1}$.

Fin du théorème

Ce théorème est démontré dans Calcul différentiel/Équations différentielles#Équations différentielles linéaires.

Équation homogène, résolution

Définition

Définition

On appelle équation homogène associée à l'équation différentielle (E) normalisée sur I l'équation

$(E_{0}):x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0$.

Dimension de l'espace des solutions

Début d’un théorème

Théorème

Le K-espace vectoriel des solutions de $(E_{0})$ est de dimension 2.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $S_{0}$ cet espace vectoriel. Fixons $t_{0}\in I$. L'application

$S_{0}\to \mathbb {R} ^{2},\;x\mapsto \left(x(t_{0}),x'(t_{0})\right)$

est clairement linéaire, et elle est bijective d'après le théorème d'existence et d'unicité.

Par conséquent, c'est un isomorphisme donc $\dim \left(S_{0}\right)=2$.

 

Ainsi, on peut déterminer l’ensemble des solutions de $(E_{0})$ en connaissant 2 solutions particulières $u$ et $v$ linéairement indépendantes.

Toute solution $x$ de $(E_{0})$ s'écrit alors : $x=\lambda u+\mu v$.

Le wronskien

Définition

On appelle wronskien de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ l’application :

$t\mapsto W(t):={\begin{vmatrix}u(t)&v(t)\\u'(t)&v'(t)\end{vmatrix}}=u(t)v'(t)-u'(t)v(t)$.

Propriété

Si $u$ et $v$ sont deux solutions de $(E_{0})$, alors les propositions suivantes sont équivalentes :

1. $u$ et $v$ sont linéairement indépendantes ;
2. $\forall t\in I\quad W(t)\neq 0$ ;
3. $\exists t\in I\quad W(t)\neq 0$.

Démonstration

$2\Rightarrow 3\Rightarrow 1$ est immédiat, et $1\Rightarrow 2$ résulte de l'isomorphisme mis en évidence au paragraphe précédent, pour $t_{0}=t\in I$ arbitraire (ici, seule l'injectivité de cette application est utilisée, c'est-à-dire la partie « unicité » du théorème d'existence et d'unicité).

 

Faites ces exercices : Théorèmes de Sturm : étude qualitative.

Remarque

On peut aussi démontrer $3\Rightarrow 2$ directement, en remarquant que $W'+aW=0$.

Détails

$W'=\left(uv'-u'v\right)'={\cancel {u'v'}}+uv''-u''v{\cancel {-u'v'}}=u\left(-av'{\cancel {-bv}}\right)-\left(-au'{\cancel {-bu}}\right)v=-aW$ donc $W(t)=C\mathrm {e} ^{\lambda (t)}$, où $\lambda$ est une primitive de $-a$. Si $W(t_{0})=0$ alors $C=0$ donc $W=0$.

 

Résolution par changement de fonction, si l'on connait une solution particulière

Soit $u$ une solution particulière de $(E_{0})$, ne s'annulant pas sur I. Pour trouver une seconde solution linéairement indépendante, on réalise le changement de fonction :

$v=zu$, avec z la seconde fonction à trouver, de classe C².

On a alors :

$v'=z'u+zu'$ et $v''=z''u+2z'u'+zu''$.

En reportant dans $(E_{0})$, on obtient : $z''u+(2u'+au)z'+(u''+au'+bu)z=0$

et comme $u$ est solution de $(E_{0})$, le terme en z s'annule, et il reste à déterminer z solution de

$z''+(2u'+au)z'=0$,

qui est une équation différentielle linéaire du premier ordre en z' normalisée sur I. On déduit ainsi z en intégrant z'.

Équation complète, résolution

Début d’un théorème

Théorème

L'ensemble des solutions d’une équation différentielle du second ordre normalisée sur I forme un espace affine $S=S_{0}+y_{0}$, de dimension 2 avec $S_{0}$ l’ensemble des solutions de l'équation homogène, et $y_{0}$ une solution particulière de (E).

Fin du théorème

Démonstration

L'application $\Delta :x\mapsto x''+ax'+bx$ est linéaire, car $(E)$ est une équation différentielle linéaire. L'équation différentielle devient alors : $\Delta [x]=c$.

Soit y₀ une solution particulière de $(E)$, on a alors $\Delta [y_{0}]=c$.

Soit $\Delta [x]-\Delta [y_{0}]=\Delta [x-y_{0}]$, car $\Delta$ est linéaire.

On a donc : $x\in S\Leftrightarrow x-y_{0}\in \ker(\Delta )=S_{0}$. De plus dim S = dim S₀ = 2.

 

À présent, on connait deux solutions particulières $u$ et $v$ de $(E_{0})$, linéairement indépendantes.

On sait que toute solution de $(E_{0})$ se met sous la forme $x=\lambda u+\mu v$.

On applique alors la méthode de variation des deux constantes pour trouver une solution particulière de $(E)$.