Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients variables

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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre avec second membre

Définition

Notations et définitions

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre normalisée et définie sur $I$ toute équation de la forme

$(E):x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t)$

où $I$ est un intervalle de $\mathbb {R}$ et $a,b,c$ appartiennent à $C^{0}(I,K)$.

Début de l'exemple

Exemple

$y''-xy=0$, normalisée sur $\mathbb {R}$

$xy''-y=0$, normalisable sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ ou $\mathbb {R} _{-}^{*}$

Fin de l'exemple

Théorème fondamental : existence et unicité

Début d’un théorème

Théorème d'existence et d'unicité

Si $t_{0}\in I$ et $(x_{0},x_{1})\in K^{2}$, l’équation $(E):x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=c(t)$ possède une unique solution, définie sur $I$, vérifiant la condition initiale :

• $x(t_{0})=x_{0}$
• $x'(t_{0})=x_{1}$

Ce théorème est vrai dans le cas où $a,b,c\in C^{0}(I,K)$

Fin du théorème

Ce théorème est démontré dans Calcul différentiel/Équations différentielles#Équations différentielles linéaires.

Équation homogène, résolution

Définition

Définition

L'équation homogène associée à l'équation différentielle $(E)$ est définie par :

$(E_{0}):x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0$

Dimension de l'espace des solutions

Début d’un théorème

Théorème

Le K-espace vectoriel des solutions de $(E_{0})$ est de dimension 2.

Fin du théorème

On peut déterminer l’ensemble des solutions de $(E_{0})$ en connaissant 2 solutions particulières $u$ et $v$ linéairement indépendantes.

Toute solution $x$ de $(E_{0})$ s'écrit alors : $x=\lambda u+\mu v$.

Le wronskien

Définition

On appelle wronskien de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ l’application :

$t\mapsto W(t):={\begin{vmatrix}u(t)&v(t)\\u'(t)&v'(t)\end{vmatrix}}=u(t)v'(t)-u'(t)v(t)$

Propriété

Si $u$ et $v$ sont deux solutions de $(E_{0})$, alors les propositions suivantes sont équivalentes :

1. $u$ et $v$ sont linéairement indépendantes
2. $\forall t\in I\quad W(t)\neq 0$
3. $\exists t\in I\quad W(t)\neq 0$

Résolution par changement de fonction, si l'on connait une solution particulière

Soit $u$ une solution particulière de $(E_{0})$, ne s'annulant pas sur l'ensemble $I$. Pour trouver une seconde solution linéairement indépendante, on réalise le changement de fonction :

$v=zu$, avec $z$ la seconde fonction à trouver, de classe $C^{2}$.

On a alors :

$v'=z'u+zu'$ et $v''=z''u+2z'u'+zu''$

En reportant ces égalités dans $(E_{0})$, on obtient : $z''u+(2u'+au)z'+(u''+au'+bu)z=0$

et comme $u$ est solution de $(E_{0})$, le terme en $z$ s'annule, et il reste à déterminer z solution de

$z''+(2u'+au)z'=0$

qui est une équation différentielle linéaire du premier ordre en $z'$ normalisée sur $I$. On déduit ainsi $z$ en intégrant $z'$.

Équation complète, résolution

Début d’un théorème

Théorème

L'ensemble des solutions d’une équation différentielle du second ordre normalisée sur $I$ forme un espace affine $S=S_{0}+y_{0}$, de dimension 2 avec $S_{0}$ l’ensemble des solutions de l'équation homogène, et $y_{0}$ une solution particulière de $(E)$.

Fin du théorème

À présent, on connait deux solutions particulières $u$ et $v$ de $(E_{0})$, linéairement indépendantes.

On sait que toute solution de $(E_{0})$ se met sous la forme $x=\lambda u+\mu v$.

On applique alors la méthode de variation des deux constantes pour trouver une solution particulière de $(E)$.