Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
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Chapitre no 4
Leçon : Équation différentielle
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Exercices :

Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre

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Remarques :

  • Les physiciens disposent de leur propre formalisme pour ces équations typiques des phénomènes oscillants. Voir pour cela : Équation différentielle linéaire de la faculté de physique.
  • Néanmoins on utilisera la lettre t comme variable dans ce chapitre.

Exemples

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1.  
2.  

Équation homogène associée

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Espace vectoriel

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L'ensemble des solutions de   est un espace vectoriel de dimension 2.

Cela signifie qu’il suffit de déterminer 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes par combinaison linéaire.

Équation caractéristique

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Exemples

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Donner les équations caractéristiques   des équations différentielles homogènes suivantes.

  •  
  •  

Résolution

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On suppose ici que les coefficients   sont réels, et l'on cherche les fonctions à valeurs réelles solutions de  .

Début d’un théorème
Fin du théorème


  Faites ces exercices : Équations sans second membre.


Équation avec second membre

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque : Le problème revient alors à trouver une solution particulière de (E), ce qui n’est pas toujours évident.

Cas particulier où  

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Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarque

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  Faites ces exercices : Équations avec des sinus et cosinus.


Ce cas inclut (pour  ) le cas d'un second membre simplement polynomial.

Ce cas inclut également les fonctions trigonométriques.

En effet,   et  .

Pour résoudre une équation faisant intervenir ces fonctions, il faut donc passer par les exponentielles complexes.

Exemple

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  Faites ces exercices : Équations avec second membre.


Déterminer une solution générale de   :

 .

Équations avec conditions initiales

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La condition initiale

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  • L'ensemble des solutions d'une E.D.L du second ordre est un espace vectoriel de dimension 2 ; le fait de fixer deux valeurs suffit à la définir parfaitement.
  • Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
un système physique régi par une équation différentielle du second ordre voit son état déterminé par une seule fonction  
pour déterminer cette fonction, il faut donner par exemple une position initiale   et une vitesse initiale  .

C'est ce qu'on appelle les conditions initiales.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemple

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Déterminer la solution de (E) vérifiant les conditions initiales données.