Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
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Exercices no2
Leçon : Équation différentielle
Chapitre du cours : Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Équation différentielle linéaire du premier ordre
Exo suiv. :Équation différentielle du premier ordre
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Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
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Équations sans second membre modifier

Résoudre sur   les équations suivantes :

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

Trouver toutes les fonctions   dérivables sur   vérifiant :   et  .

Déterminer l'ensemble des couples   tels que toutes les solutions sur   de   soient bornées.

Équations avec second membre modifier

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  .

Résoudre  , pour

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.  .

Résoudre  , pour

  1.   ;
  2.   ;
  3.  .

Considérons l'équation différentielle  .

  1. À quelle équation différentielle satisfait la fonction   ? En déduire, sur chacun des intervalles   et  , les solutions de  .
  2. Montrer qu'il existe une fonction   et une seule définie sur   qui soit solution de   (on pourra utiliser un développement de Taylor ou la règle de l'Hôpital).

Avec conditions initiales modifier

Déterminer la solution de   vérifiant les conditions initiales données.

  1.   ;
  2.   ;
  3.  .
  4.  , pour   ;
  5.  , pour   et  , et déterminer   ;
  6.  , et déterminer  .

Soient   fixés. Montrer que pour tout  , l'équation

 

admet une unique solution  .

Établir

 .

Problème modifier

  1. Résoudre l'équation différentielle :
     .
  2. Déterminer la solution particulière   de la variable t vérifiant les conditions   et  .
  3. Déterminer les réels  ,   et   tels que f(t) s'écrive :
     .
  4. Résoudre, dans  , l'équation  .

Problème avec conditions au bord modifier

Soit  . Résoudre le problème :

 .

Avec des exponentielles modifier

Résoudre :

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.  .

Avec des sinus et cosinus modifier

Intégrer l'équation  .

Résoudre l'équation différentielle   dépendant du paramètre réel  , avec les conditions initiales  .

Soit  . Déterminer la solution   de l'équation différentielle

  vérifiant   et  .

(Indication : on étudiera séparément les cas   et  .)

Exercices plus complexes modifier

Système différentiel modifier

Résoudre les deux systèmes différentiels :

  1.   ;
  2.  

avec conditions initiales  .

Pour le second, si   et  , quelle est la trajectoire du point   ?

Résoudre le système différentiel suivant :

  et  .

(Indication : on se ramènera à une équation du second ordre en  .)

Exercice atypique modifier

Résoudre l'équation   avec cet indice : Dériver.

Résoudre de même :  .

Déterminer toutes les applications dérivables   telles que  .

Trouver l'ensemble des fonctions   continues sur   qui vérifient

 .