Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre

Équation différentielle linéaire du premier ordre
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Exercices no1
Leçon : Équation différentielle
Chapitre du cours : Équation différentielle linéaire du premier ordre

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
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Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre
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Résolutions simples modifier

Équations homogènes à coefficients constants modifier

  1. Déterminer la solution générale de l'équation  .
  2. Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale :  .
  3. Déterminer celle vérifiant la condition initiale :  .

Déterminer la solution de   avec la condition  .

Équations avec second membre à coefficients constants modifier

  1. Déterminer la solution générale de l'équation  .
  2. Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale :  .

Trouver toutes les fonctions   dérivables sur   vérifiant :   et  .

Équations à coefficients constants avec second membre variable modifier

1.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation   ;
b)  la solution unique vérifiant la condition initiale :  .

2.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation   ;
b)  la solution unique vérifiant la condition initiale :  .

3.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation   ;
b)  la solution unique vérifiant la condition initiale :  .

4.  Résoudre  .

5.  Résoudre  .

6.  Résoudre  .

7.  Soient   et   un polynôme de degré  . On considère l'équation  .

a)  À quelle condition sur   la fonction   est-elle solution de   ?
b)  On suppose  . Montrer que l'application   est linéaire, injective et surjective. En déduire que   admet une solution particulière de la forme   avec   polynôme de même degré que  .
c)  On suppose  . Montrer que   admet une solution particulière de la forme   avec   polynôme, et préciser le degré de  .

8.  Résoudre le problème de Cauchy :  .

Équations homogènes à coefficients variables modifier

1.  a)  Déterminer la solution générale de l'équation  .

b)  Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale :  .

2.  On considère l'équation  .

a)  Résoudre   sur  , puis sur  . Vérifier que sur chacun de ces intervalles, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 1.
b)  Résoudre le problème de Cauchy associé sur   avec la condition initiale :  .
c)  Résoudre   sur  . Vérifier que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?
d)  Résoudre le problème de Cauchy associé sur   avec la condition initiale :  .
e)  Résoudre de même  .

3.  Résoudre :

a)    ;
b)   , pour   ;
c)   , où   ;
d)   .

4.  Trouver toutes les applications continues   telles que   (poser  ).

5.  Déterminer l'ensemble des fonctions continues sur   vérifiant :   et préciser leur régularité.

6.

  • Écrire l'équation de la tangente en   au graphe   de la fonction   dérivable sur  .
  • Déterminer l'ensemble des fonctions   dérivables sur   telles qu'en tout point, la tangente à   passe par  .

Équations à coefficients variables avec second membre modifier

1.  a)  Déterminer la solution générale de l'équation  .

b)  Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale :  .

2.  On considère l'équation  .

a)  Résoudre l'équation homogène associée à   sur  , puis sur  .
b)  Utiliser la méthode de variation de la constante pour trouver la solution générale de   sur  .
c)  Déterminer la solution générale de   sur  .
d)  Déterminer la solution générale de   sur  .
e)  Résoudre de même  .

3.  Résoudre :

  1.  , en supposant  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .
  5.  , sur  .
  6.  , sur  .
  7.  ,  .
  8.  .
  9.  .

4.  Dans cet exercice, on notera   la fonction définie par   (pour  ).

  1. Démontrer que pour tout  ,
     .
  2. Résoudre l'équation différentielle suivante pour   :
     .
  3. Donner la solution   définie sur   de l'équation différentielle
     
    qui vérifie  .

Résolutions générales d'équations complètes modifier

Intégrer les équations suivantes :

1.  

2.  

3.  

4.  , où   est un réel donné.

5.  

6.  

7.  

8.  

9.  

10.  

11.  

12.  

13.  

Problème de la fourmi sur un élastique modifier

 
 
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Wikipédia possède un article à propos de « Problème de la fourmi sur un élastique ».

Un élastique, de longueur initiale  , a une extrémité fixe   et une extrémité mobile  , qui s'éloigne de  , sur  , à une vitesse constante  . Une fourmi, initialement en  , marche sur l'élastique à vitesse constante  . Arrivera-t-elle au bout de l'élastique ?

Système différentiel à coefficients constants modifier

Système homogène, matrice diagonalisable modifier

Soit  . Résoudre  .

Résoudre le problème de Cauchy

 ,

  et  .

Système non homogène, matrice diagonalisable modifier

Résoudre le système différentiel :

 .

Résoudre le système différentiel

 

d'inconnue  , où

  et  .

Système homogène, matrice non diagonalisable modifier

Soit  . Résoudre  .

Résoudre le système différentiel

  où les inconnues sont les fonctions  .


Soit  . Résoudre  .

Courbes et équations différentielles modifier

Soit   et  . On considère le système différentiel

 .

Le but est de tracer dans le plan   la trajectoire de la solution

 .

Le cas où la matrice A est diagonale modifier

On considère

 .

Tracer l'allure de la courbe   dans les cas suivants :

a)  ,

b)  ,

c)  ,

d)  ,

e)  .

Le cas où la matrice A est diagonalisable dans M2(ℝ) modifier

On suppose que   a deux valeurs propres réelles distinctes, et donc on est dans un des cas précédents, au niveau des valeurs propres. Quelle allure auront les trajectoires ?

Le cas typique où la matrice A est diagonalisable dans M2(ℂ) modifier

Soient   et  . On considère

 .

a) Déterminer les valeurs propres de  .

b) Montrer que la solution est

 ,

  désigne la rotation d'angle  .

En déduire l'allure de la solution  .