Équation différentielle/Exercices/Charge d'un condensateur

Un circuit comprend un générateur de force électromotrice $V_{in}$, une résistance R et un condensateur C en série.

La tension $V_{C}$ aux bornes du condensateur est égale à la somme des tensions aux bornes du générateur $V_{in}$ et de la résistance $V_{R}$, donc :

$V_{C}(t)+Ri(t)=V_{in}$.

La charge du condensateur et l'intensité du courant produit sont liés par la relation :

$i(t)=q'(t)$.

Expression de q(t)

1. Démontrer que $Rq'+{\frac {1}{C}}q=V_{in}$.
2. Résoudre cette équation différentielle.
3. Si le condensateur est sans charge initiale, exprimer q en fonction de t.

Solution

1. $V_{in}=V_{C}+ri={\frac {q}{C}}+Rq'$.
2. Les solutions sont $q(t)=CV_{in}+\lambda \operatorname {e} ^{-{\frac {t}{RC}}}$, avec $\lambda \in \mathbb {R}$.
3. La solution nulle en 0 est $q(t)=CV_{in}\left(1-\operatorname {e} ^{-{\frac {t}{RC}}}\right)$.

 

La constante de temps

1. Déterminer la charge finale Q du condensateur, c'est-à-dire la limite de la fonction q en $+\infty$.
2. On note $\tau =RC$. À quel pourcentage de sa charge maximale Q le condensateur est-il chargé après une durée de charge égale à $\tau$ ; à $5\tau$ ?

Solution

1. $Q:=\lim _{t\to +\infty }\left(CV_{in}+\lambda \operatorname {e} ^{-{\frac {t}{RC}}}\right)=CV_{in}$.
2. L'énoncé semble supposer implicitement qu'il s'agit, désormais, de la solution nulle en 0, $q(t)=Q\left(1-\operatorname {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$. Alors, ${\frac {q(\tau )}{Q}}=1-\operatorname {e} ^{-1}\approx 0{,}632$ (soit 63,2 %) et ${\frac {q(5\tau )}{Q}}=1-\operatorname {e} ^{-5}\approx 0{,}993$ (soit 99,3 %).

 

Étude de la fonction q

1. Préciser les variations de la fonction $q$.
2. Vérifier que la droite $(OT)$, où $T$ a pour coordonnées $(\tau ,Q)$, est la tangente à la courbe $C_{q}$ à l'origine O.
3. Tracer $C_{q}$, sa tangente en O, son asymptote horizontale dans le cas où $C=1\;\mathrm {F}$, $R=100\;\Omega$ et $V_{in}=5\;\mathrm {V}$ pour $t\in \left[0,5\tau \right]$.

Solution

1. Quand $t$ varie de $0$ à $+\infty$, $q$ croît de $0$ à $Q$.
2. $q(0)=0$ et $q'(0)={\frac {Q}{\tau }}$.
3. Il suffit d'appliquer les résultats précédents à $Q=5,\tau =100$.

 

Étude de l'intensité i(t) et de sa courbe Γ

1. Démontrer que $i(t)={\frac {V_{in}}{R}}\operatorname {e} ^{\frac {-t}{\tau }}$.
2. Préciser les variations de $i$.
3. Vérifier que la droite $(AT')$, où $T'$ a pour coordonnées $(\tau ,0)$ et où A est le point d'intersection de l'axe des ordonnées avec $\Gamma$, est tangente à $\Gamma$ en A.
4. Tracer $(AT')$ et $\Gamma$ dans le cas où $C=1\;\mathrm {F}$, $R=100\;\Omega$ et $V_{in}=5\;\mathrm {V}$ pour $t\in \left[0,5\tau \right]$.

Solution

1. $i(t)=q'(t)={\frac {Q}{\tau }}\operatorname {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}$ et ${\frac {Q}{\tau }}={\frac {CV_{in}}{RC}}={\frac {V_{in}}{R}}$.
2. Quand $t$ varie de $0$ à $+\infty$, $i$ décroît de ${\frac {V_{in}}{R}}$ à $0$.
3. Au point $A$, de coordonnées $\left(0,{\frac {V_{in}}{R}}\right)$, la tangente à $\Gamma$ a pour pente $i'(0)=-{\frac {V_{in}}{R\tau }}$. Son équation est donc $y={\frac {V_{in}}{R}}\left(1-{\frac {x}{\tau }}\right)$ et elle passe par $T'$.
4. Il suffit d'appliquer les résultats précédents à ${\frac {V_{in}}{R}}=0{,}05,\tau =100$.