Équation différentielle/Exercices/Charge d'un condensateur


Un circuit comprend un générateur de force électromotrice , une résistance R et un condensateur C en série.

Charge d'un condensateur
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Exercices no6
Leçon : Équation différentielle
Chapitre du cours : Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Application en démographie
Exo suiv. :Vitesse terminale en chute libre
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Équation différentielle/Exercices/Charge d'un condensateur
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La tension aux bornes du condensateur est égale à la somme des tensions aux bornes du générateur et de la résistance , donc :

.

La charge du condensateur et l'intensité du courant produit sont liés par la relation :

.

Expression de q(t) modifier

  1. Démontrer que  .
  2. Résoudre cette équation différentielle.
  3. Si le condensateur est sans charge initiale, exprimer q en fonction de t.

La constante de temps modifier

  1. Déterminer la charge finale Q du condensateur, c'est-à-dire la limite de la fonction q en  .
  2. On note  . À quel pourcentage de sa charge maximale Q le condensateur est-il chargé après une durée de charge égale à   ; à   ?

Étude de la fonction q modifier

  1. Préciser les variations de la fonction  .
  2. Vérifier que la droite  , où   a pour coordonnées  , est la tangente à la courbe   à l'origine O.
  3. Tracer  , sa tangente en O, son asymptote horizontale dans le cas où  ,   et   pour  .

Étude de l'intensité i(t) et de sa courbe Γ modifier

  1. Démontrer que  .
  2. Préciser les variations de  .
  3. Vérifier que la droite  , où   a pour coordonnées   et où A est le point d'intersection de l'axe des ordonnées avec  , est tangente à   en A.
  4. Tracer   et   dans le cas où  ,   et   pour  .