Considérons un objet de masse m en chute libre.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Vitesse terminale en chute libre
Équation différentielle/Exercices/Vitesse terminale en chute libre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :
- le poids :
- Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v,
le coefficient de frottement est noté h, donc
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
Solution
- le poids :
- Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v, le coefficient de frottement est noté h, donc
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
En supposant que l’objet est lâché sans vitesse initiale,
l'objectif est de donner la solution
exprimant la vitesse du corps en fonction du temps t.
Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :
La solution est, d’après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :
Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire .
Cela donne pour la solution générale :
La solution finale au problème est donc :
Solution
Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :
La solution est, d’après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :
Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, ce qui fixe le paramètre A, qui doit alors vérifier :
La solution finale au problème est donc :
Application numérique : Tracer v en fonction de t pour :