On considère l'équation différentielle (E):y′−2y=e2x{\displaystyle (E):y'-2y=e^{2x}}.
Exercices de niveau 13.
1. Démontrer que la fonction u{\displaystyle u} définie sur R{\displaystyle \mathbb {R} } par :
u(x)=xe2x{\displaystyle u(x)=xe^{2x}} est solution de (E){\displaystyle (E)}.
2. Résoudre l'équation différentielle (E0):y′−2y=0{\displaystyle (E_{0}):y'-2y=0}.
3. Démontrer qu'une fonction v{\displaystyle v} définie sur R{\displaystyle \mathbb {R} } est solution de (E){\displaystyle (E)} si et seulement si v−u{\displaystyle v-u} est solution de (E0){\displaystyle (E_{0})}.
4. En déduire toutes les solutions de l'équation (E){\displaystyle (E)}.
5. Déterminer la fonction, solution de (E){\displaystyle (E)}, qui prend la valeur 1 en 0.
1. On dérive u(x)=xe2x{\displaystyle u(x)=xe^{2x}} :
u′(x)=e2x+2xe2x{\displaystyle u'(x)=e^{2x}+2xe^{2x}}
On a donc u′−2u=e2x+2xe2x−2xe2x=e2x{\displaystyle u'-2u=e^{2x}+2xe^{2x}-2xe^{2x}=e^{2x}}.
u{\displaystyle u} est donc bien solution de (E){\displaystyle (E)}.
2. (E0):y′−2y=0⇒y′=2y{\displaystyle (E_{0}):y'-2y=0\Rightarrow y'=2y}
⇒y′y=2{\displaystyle \Rightarrow {\frac {y'}{y}}=2} et y≠0{\displaystyle y\neq 0}
Donc y=ke2x{\displaystyle y=k\,e^{2x}}
3. v{\displaystyle v} est solution de (E)⇔v′−2v=e2x{\displaystyle (E)\Leftrightarrow v'-2v=e^{2x}}
⇔v′−2v=u′−2u{\displaystyle \Leftrightarrow v'-2v=u'-2u}
⇔v′−u′−2v+2u=0{\displaystyle \Leftrightarrow v'-u'-2v+2u=0}
⇔(v−u)′−2(v−u)=0{\displaystyle \Leftrightarrow (v-u)'-2(v-u)=0}
⇔v−u{\displaystyle \Leftrightarrow v-u} est solution de (E0){\displaystyle (E_{0})}.
4. v{\displaystyle v} est solution de (E)⇔v−u{\displaystyle (E)\Leftrightarrow v-u} est solution de (E0){\displaystyle (E_{0})}
⇔v−xe2x{\displaystyle \Leftrightarrow v-xe^{2x}} est solution de (E0){\displaystyle (E_{0})}
⇔v−xe2x=ke2x{\displaystyle \Leftrightarrow v-xe^{2x}=ke^{2x}}
⇔v=(k+x)e2x{\displaystyle \Leftrightarrow v=(k+x)e^{2x}}
5. Les solutions de (E){\displaystyle (E)} s'écrivent sous la forme v=(k+x)e2x{\displaystyle v=(k+x)e^{2x}}.
Or il faut v(0)=1⇒(k+0)e0=1{\displaystyle v(0)=1\Rightarrow (k+0)e^{0}=1}. Donc k=1{\displaystyle k=1}.
Donc v=(x+1)e2x{\displaystyle v=(x+1)e^{2x}}