Équation différentielle/Exercices/Sujet de bac S

On considère l'équation différentielle $(E):y'-2y=e^{2x}$.

1. Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\mathbb {R}$ par :

$u(x)=xe^{2x}$ est solution de $(E)$.

2. Résoudre l'équation différentielle $(E_{0}):y'-2y=0$.

3. Démontrer qu'une fonction $v$ définie sur $\mathbb {R}$ est solution de $(E)$ si et seulement si $v-u$ est solution de $(E_{0})$.

4. En déduire toutes les solutions de l'équation $(E)$.

5. Déterminer la fonction, solution de $(E)$, qui prend la valeur 1 en 0.

Solution

1. On dérive $u(x)=xe^{2x}$ :

$u'(x)=e^{2x}+2xe^{2x}$

On a donc $u'-2u=e^{2x}+2xe^{2x}-2xe^{2x}=e^{2x}$.

$u$ est donc bien solution de $(E)$.

---

2. $(E_{0}):y'-2y=0\Rightarrow y'=2y$

$\Rightarrow {\frac {y'}{y}}=2$ et $y\neq 0$

Donc $y=k\,e^{2x}$

---

3. $v$ est solution de $(E)\Leftrightarrow v'-2v=e^{2x}$

$\Leftrightarrow v'-2v=u'-2u$

$\Leftrightarrow v'-u'-2v+2u=0$

$\Leftrightarrow (v-u)'-2(v-u)=0$

$\Leftrightarrow v-u$ est solution de $(E_{0})$.

---

4. $v$ est solution de $(E)\Leftrightarrow v-u$ est solution de $(E_{0})$

$\Leftrightarrow v-xe^{2x}$ est solution de $(E_{0})$

$\Leftrightarrow v-xe^{2x}=ke^{2x}$

$\Leftrightarrow v=(k+x)e^{2x}$

---

5. Les solutions de $(E)$ s'écrivent sous la forme $v=(k+x)e^{2x}$.

Or il faut $v(0)=1\Rightarrow (k+0)e^{0}=1$. Donc $k=1$.

Donc $v=(x+1)e^{2x}$