Équation du troisième degré/Exercices/Exercices sur l'équation du troisième degré

Exercice 1-1

Donner le degré des équations suivantes :

a) $5x={\frac {x^{2}+2}{x^{2}-2}}$

b) $(x-1)(x+2)(x+3)=(x+4)(x-2)(x+1)$

Solution

a) L'équation peut s'écrire :

$5x(x^{2}-2)=x^{2}+2$

$5x^{3}-10x=x^{2}+2$

$5x^{3}-x^{2}-10x-2=0$

L'équation donnée était donc du troisième degré.

b) Développons les deux membres, on obtient :

$(x^{2}+x-2)(x+3)=(x^{2}+2x-8)(x+1)$

$x^{3}+x^{2}-2x+3x^{2}+3x-6=x^{3}+2x^{2}-8x+x^{2}+2x-8$

$x^{2}+7x+2=0$

L'équation donnée était donc du second degré.

 

Exercice 1-2

Résoudre les équations suivantes :

$a)\quad x^{3}+x^{2}+x+1=0$ ;

$b)\quad x^{3}+3x^{2}-3x-10=0$ ;

$c)\quad 5x^{3}+2x^{2}+1x+1=0$.

Solution

a) Résolvons l'équation :

$x^{3}+x^{2}+x+1=0$.

Elle a une racine évidente $x_{0}=-1$. On factorise, comme dans la démonstration du cours ou bien en écrivant a priori :

$x^{3}+x^{2}+x+1=(x-x_{0})(ax^{2}+bx+c)$,

puis en développant pour identifier les coefficients :

$x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)(ax^{2}+bx+c)=ax^{3}+(a+b)x^{2}+(b+c)x+c$

donc

$1=a$, $1=a+b$, $1=b+c$ (et $1=c$),

ce qui donne :

$a=1$, $b=0$, $c=1$

donc

$x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)(x^{2}+1)$.

Les deux solutions de $x^{2}+1=0$ sont $\mathrm {i}$ et $-\mathrm {i}$ donc les trois solutions de $x^{3}+x^{2}+x+1=0$ sont $-1$, $\mathrm {i}$ et $-\mathrm {i}$.

b) Résolvons l'équation :

$x^{3}+3x^{2}-3x-10=0$.

Nous voyons que l'équation admet la racine évidente x₁ = -2. Nous pouvons donc la factoriser par x + 2.

Nous obtenons :

$(x+2)(x^{2}+mx-5)=0$.

Cette factorisation a été faite de telle façon qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant. Il nous reste à déterminer m. Pour cela on redéveloppe :

$x^{3}+(m+2)x^{2}+(2m-5)x-10=0$

et l’on identifie avec l'équation initiale. On obtient :

${\begin{cases}m+2=3\\2m-5=-3\end{cases}}$

Dans les deux cas, on voit que m = 1. L'équation factorisée s'écrit donc :

$(x+2)(x^{2}+x-5)=0$.

Il nous reste à résoudre :

$x^{2}+x-5=0$.

Calculons le discriminant :

$\Delta =1^{2}-4\times 1\times -5=21=\left({\sqrt {21}}\right)^{2}$.

Les deux racines de la dernière équation du second degré sont donc :

${\begin{cases}x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {21}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {21}}}{2}}.\end{cases}}$

Finalement, les trois racines de l'équation :

$x^{3}+3x^{2}-3x-10=0$

sont :

${\begin{cases}x_{1}=-2\\x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {21}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {21}}}{2}}.\end{cases}}$

c) Résolvons l'équation :

$5x^{3}+2x^{2}+x+1=0$

Nous voyons que l'équation admet la racine évidente x₁ = 2/3. Nous pouvons donc la factoriser par 3x - 2.

Nous obtenons :

$(3x-2)(x^{2}+mx-1)=0$

Cette factorisation a été faite de façon à ce qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant. Il nous reste à déterminer m. Pour cela on redéveloppe :

$3x^{3}+(3m-2)x^{2}+(-2m-3)x+2=0$

Et l’on identifie avec l'équation initiale. On obtient :

${\begin{cases}3m-2=1\\-2m-3=-5\end{cases}}$

Dans les deux cas, on voit que m = 1. L'équation factorisée s'écrit donc :

$(3x-2)(x^{2}+x-1)=0$.

Il nous reste à résoudre :

$x^{2}+x-1=0$.

Calculons le discriminant :

$\Delta =1^{2}-4\times 1\times (-1)=5=\left({\sqrt {5}}\right)^{2}$.

Les deux racines de la dernière équation du second degré sont donc :

${\begin{cases}x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{cases}}$

Finalement, les trois racines de l'équation :

$3x^{3}+x^{2}-5x+2=0$

sont :

${\begin{cases}x_{1}={\frac {2}{3}}\\x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{cases}}$

 

Exercice 1-3

Soit P un polynôme du troisième degré, P' (de degré 2) son polynôme dérivé, et x₁ une racine de P.

a) Montrer que x₁ est racine multiple de P si et seulement si x₁ est racine de P', et que x₁ est même racine triple de P si et seulement si x₁ est même racine double P'.

b) Si x₁ est racine seulement simple de P' (donc racine seulement double de P), donner sa valeur en fonction des coefficients de P, à l'aide des calculs faits en cours pour trouver le « résultant R_2-3 ».

c) En déduire les solutions des deux équations suivantes :

α) ${\frac {4x^{2}}{3}}={\frac {{\sqrt {3}}-6x}{2x-{\sqrt {27}}}}$ ;

β) $x^{3}-5x^{2}+x-1=4x{\sqrt {2}}$.

Solution

a) Supposons que x₁ est racine multiple du polynôme P. Celui-ci peut alors s'écrire :

$P(X)=a(X-x_{1})^{2}(X-x_{0})$,

x₀ étant la troisième racine de P. En appliquant la règle de dérivation (formelle) d'un produit, on en déduit :

$P'(X)=2a(X-x_{1})\times (X-x_{0})+a(X-x_{1})^{2}\times 1=3a(X-x_{1})\left(X-{\frac {x_{1}+2x_{0}}{3}}\right)$,

ce qui montre que x₁ est racine de P'. Réciproquement, si x₁ est racine de P' alors celui-ci s'écrit

$P'(X)=3a(X-x_{1})\left(X-y_{0}\right)$

donc d'après le calcul de dérivée précédent (et en posant $x_{0}={\frac {3y_{0}-x_{1}}{2}}$, pour avoir ${\frac {x_{1}+2x_{0}}{3}}=y_{0}$)

$P(X)=a(X-x_{1})^{2}(X-x_{0})+k$

avec

$k=P(x_{1})=0$

donc la racine x₁ de P est multiple.

De plus, avec ces notations, un calcul immédiat montre que x₀ = x₁ si et seulement si y₀ = x₁.

b) Notons $a,\,b,\,c,\,d$ les coefficients de P et $p=3a,\,q=2b,\,r=c$ ceux de P'.

D'après les calculs faits en cours, le système

${\begin{cases}P'(x)&=0\\P(x)&=0\end{cases}}$

est équivalent à

${\begin{cases}P'(x)&=0\\\alpha x+\beta &=0\end{cases}}$

avec

${\begin{cases}\alpha &=aq^{2}-apr-bpq+cp^{2}&=2a(3ac-b^{2})\\\beta &=aqr-bpr+dp^{2}&=a(9ad-bc).\end{cases}}$

Supposons que x₁ est racine de P et racine seulement simple de P'.

Alors, $\alpha \neq 0$ (sinon, on aurait $\beta =-\alpha x_{1}=0$ et les deux racines de P', distinctes, seraient racines de P, multiples d'après la question précédente, donc P aurait plus de racines que son degré), et les racines de P sont donc :

$x_{2}=x_{1}=-{\frac {\beta }{\alpha }}={\frac {bc-9ad}{2(3ac-b^{2})}},\quad x_{0}=-{\frac {b}{a}}-2x_{1}$.

Remarque : on retrouvera ce résultat au chapitre 4.

c) Application à la résolution d'équations.

α) L'équation :

${\frac {4x^{2}}{3}}={\frac {{\sqrt {3}}-6x}{2x-{\sqrt {27}}}}$

se met sous la forme $P(x)=0$, avec :

$P(X)=8X^{3}-12X^{2}{\sqrt {3}}+18X-3{\sqrt {3}}$

donc

$P'(X)=24X^{2}-24X{\sqrt {3}}+18=6(4X^{2}-4X{\sqrt {3}}+3)=6(2X-{\sqrt {3}})^{2}$.

Or la racine double ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ de P' est racine de P car

$P\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=8\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}-12\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}{\sqrt {3}}+18{\frac {\sqrt {3}}{2}}-3{\sqrt {3}}=3{\sqrt {3}}-9{\sqrt {3}}+9{\sqrt {3}}-3{\sqrt {3}}=0$

Par conséquent, ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ est racine triple de P, et les racines de l'équation à résoudre sont donc :

$x_{0}=x_{1}=x_{2}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

β) L'équation :

$x^{3}-5x^{2}+x-1=4x{\sqrt {2}}$

se met sous la forme $P(x)=0$, avec :

$P(X)=X^{3}-5X^{2}+(1-4{\sqrt {2}})X-1=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$

avec

$a=1\quad b=-5\quad c=1-4{\sqrt {2}}\quad d=-1$.

Calculons le nombre qui, d'après la question b, sera racine double de P s'il est racine de P'.

$x_{1}:={\frac {bc-9ad}{2(3ac-b^{2})}}={\frac {-5(1-4{\sqrt {2}})+9}{2(3(1-4{\sqrt {2}})-(-5)^{2})}}=-{\frac {1+5{\sqrt {2}}}{11+6{\sqrt {2}}}}=-{\frac {(1+5{\sqrt {2}})(11-6{\sqrt {2}})}{11^{2}-6^{2}\times 2}}=1-{\sqrt {2}}$.

$P'(x_{1})=3\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2}-10\left(1-{\sqrt {2}}\right)+1-4{\sqrt {2}}=3\left(3-2{\sqrt {2}}\right)-10\left(1-{\sqrt {2}}\right)+1-4{\sqrt {2}}=0$.

Par conséquent, $x_{1}$ est bien racine double de P, et l'autre racine est $x_{0}=-{\frac {b}{a}}-2x_{1}=5-2\left(1-{\sqrt {2}}\right)=3+2{\sqrt {2}}$.

Les racines de l'équation à résoudre sont donc :

$x_{2}=x_{1}=1-{\sqrt {2}},\quad x_{0}=3+2{\sqrt {2}}$.

Remarque : nous retrouverons ces deux équations dans l'exercice 4-3.

 

Exercice 1-4

Résoudre le système de trois équations à trois inconnues suivant :

$\left\{{\begin{matrix}yz=x-7\\xz=y+7\\x+2y=z\end{matrix}}\right.$.

Solution

Portons z de la troisième équation dans les deux premières :

$\left\{{\begin{matrix}y(x+2y)=x-7\\x(x+2y)=y+7\\x+2y=z\end{matrix}}\right.$.

Le système peut alors se réécrire ainsi :

$\left\{{\begin{matrix}z=x+2y\\2y^{2}+xy+7-x=0\\(2x-1)y+x^{2}-7=0\end{matrix}}\right.$.

Nous allons éliminer y entre les deux dernières équations en utilisant leur résultant par rapport à y. La dernière équation est considérée comme de degré $n=1$ par rapport à y car on ne peut pas avoir à la fois $2x-1=0$ et $x^{2}-7=0$.

En utilisant les notations du cours, on pose :

$p=2\qquad q=x\qquad r=7-x\qquad a=b=0\qquad c=2x-1\qquad d=x^{2}-7$.

Nous obtenons alors :

${\begin{aligned}\operatorname {Res} (pY^{2}+qY+r,cY+d)&=c[cr-dq]+pd^{2}\\&=(2x-1)[(2x-1)(7-x)-(x^{2}-7)x]+2(x^{2}-7)^{2}\\&=-3x^{3}+18x^{2}-36x+105\\&=-3(x^{3}-6x^{2}+12x-35).\end{aligned}}$

Le système peut donc s'écrire :

$\left\{{\begin{matrix}z=x+2y\\(2x-1)y+x^{2}-7=0\\x^{3}-6x^{2}+12x-35=0\end{matrix}}\right.$.

(C'est la troisième équation du système précédent qu'il faut garder car elle est du premier degré en y.)

Nous remarquons que x = 5 est une racine évidente de la troisième équation. Le système s'écrira donc :

$\left\{{\begin{matrix}z=x+2y\\(2x-1)y+x^{2}-7=0\\(x-5)(x^{2}-x+7)=0\end{matrix}}\right.$.

Pour finir de résoudre la troisième équation, il nous reste à résoudre :

$x^{2}-x+7=0$,

qui a pour solution :

$\left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\\x_{2}={\frac {1}{2}}-{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\end{matrix}}\right.$.

En joignant la solution x = 5, les valeurs possibles de x sont :

$\left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\\x_{2}={\frac {1}{2}}-{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\\x_{3}=5\end{matrix}}\right.$.

De la deuxième équation du système, nous tirons :

$y={\frac {7-x^{2}}{2x-1}}$.

En conséquence, les valeurs de y correspondantes respectivement aux valeurs de x trouvées précédemment sont :

$\left\{{\begin{matrix}y_{1}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\y_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\y_{3}=-2\end{matrix}}\right.$

Et comme :

$z=x+2y$,

les valeurs respectives de z correspondantes sont :

$\left\{{\begin{matrix}z_{1}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\z_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\z_{3}=1\end{matrix}}\right.$

 

Exercice 1-5

Soient $P$ un polynôme du second degré et $Q(X)=(X-\alpha )P(X)$. Montrer que

$\Delta _{Q}=\Delta _{P}\times (P(\alpha ))^{2}$.

Solution

Notons $P(X)=a(X-\beta )(X-\gamma )$.

$\Delta _{Q}=a^{4}(\alpha -\beta )^{2}(\alpha -\gamma )^{2}(\beta -\gamma )^{2}=a^{2}(\beta -\gamma )^{2}\times (P(\alpha ))^{2}=\Delta _{P}\times (P(\alpha ))^{2}$.

Pour une généralisation, voir Résultant/Exercices/Discriminant#Exercice 2.

 

Exercice 1-6

On veut construire une boîte de base carrée de volume 562,5 cm³ en découpant, à chaque coin d'une plaque en carton de 20 cm de côté, un carré de côté x cm, et en repliant bord à bord les quatre rectangles ainsi créés.

1. Vérifier qu'une solution est x = 2,5.
2. Montrer qu'il y a une seule autre solution et la calculer.

Solution

1. Le volume de la boîte (en cm³) est (pour $0\leq x\leq 10$) : $V(x)=x\left(20-2x\right)^{2}$. Pour $a=2{,}5$, on a bien $V(a)=2{,}5\times 15^{2}=562{,}5$.
2. On cherche les $x\in \left[0,10\right]$ différents de $a$ tels que $V(x)-V(a)=0$, c'est-à-dire (en simplifiant par $4$) tels que $x^{3}-a^{3}-20\left(x^{2}-a^{2}\right)+100\left(x-a\right)=0$. Ce sont donc (en simplifiant par $X-a$) les racines du polynôme $X^{2}+aX+a^{2}-20\left(X+a\right)+100=X^{2}+\left(a-20\right)X+{\frac {V(a)}{4a}}=X^{2}-17{,}5X+56{,}25$ comprises entre $0$ et $10$. Il n'y en a qu'une : ${\frac {17{,}5-{\sqrt {81{,}25}}}{2}}\approx 4{,}243$ (l'autre est trop grande).