Équation du troisième degré/Fonctions polynômes du troisième degré

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Fonctions polynômes du troisième degré
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Chapitre no 3
Leçon : Équation du troisième degré
Chap. préc. :Généralités sur les équations du troisième degré
Chap. suiv. :Méthode de Cardan

Exercices :

Sur les tracés de courbes
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Dans ce chapitre, nous étudierons les courbes du troisième degré. Nous verrons que l'allure générale du tracé d'une courbe du troisième degré dépend principalement de deux éléments. Le premier élément est le signe du coefficient du terme de plus haut degré. Le deuxième élément est le discriminant du second degré de la dérivée de la fonction à étudier. Le discriminant du troisième degré de la fonction n'intervient, quant à lui, seulement pour préciser le nombre de points d'intersection entre la courbe et l'axe des abscisses.


Définition des éléments nécessaires à l'étude des fonctions polynômes du troisième degréModifier


  Pour l'étude générale des fonctions polynomiales du troisième degré, il est très important de prendre a non nul, sinon on n'aurait plus une fonction du troisième, mais du second degré maximum.


De la définition précédente, on déduit qu'une fonction polynôme du troisième degré est définie sur   tout entier.





 

Notations

Par commodité, nous poserons :

 

δ' est le discriminant réduit de la dérivée de la fonction à résoudre. Il a, bien sûr, le même signe que Δ' et nous dispense du facteur 4.

 

Nous poserons aussi :

 

Cette expression revient assez souvent dans l'étude des équations du troisième degré.


Le tableau de variation de la fonction du troisième degré à étudier dépend uniquement du signe du terme de plus haut degré et de Δ'. Dans la suite de ce chapitre, nous distinguerons donc quatre cas selon le signe du coefficient du terme de plus haut degré et selon le signe de Δ'. Pour chacun des quatre cas, nous tracerons les différentes courbes possibles associées au tableau de variation établi pour le cas considéré.


Premier cas : le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est strictement positifModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème



En posant :

 

Les coordonnées du centre de symétrie sont (voir exercice 3-6) :

 

Nous voyons alors que le signe de Ψ nous renseigne sur la position du centre de symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

Dans le tableau suivant, nous avons représenté quelques tracés de courbes qui tiennent compte du discriminant et de la position du centre de symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Nous avons vu dans le chapitre précédent que le signe du discriminant permet de prévoir le nombre de racines réelles et par conséquent le nombre de points d'interception de la courbe avec l'axe des abscisses. La position du centre de symétrie donnée par le signe de Ψ, quant à elle, nous permet une localisation grossière des racines dans l’ensemble des nombres réels.


Les 6 cas qui peuvent se présenter
a > 0 Δ < 0 Δ > 0 Δ = 0
Ψ > 0 Une racine < -b/3a   Une racine < -b/3a < deux racines   Une racine simple < -b/3a < une racine double  
Ψ < 0 Une racine > -b/3a   Deux racines < -b/3a <une racine   Une racine double < -b/3a < une racine simple  



Deuxième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est négatif ou nulModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Les 4 cas qui peuvent se présenter
a > 0 Δ < 0 Δ = 0
Ψ > 0 Une racine < -b/3a   Impossible
Ψ = 0 Une racine = -b/3a   Une racine triple  
Ψ < 0 Une racine > -b/3a   Impossible



Troisième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est négatif et Δ' est strictement positifModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème



Les 6 cas qui peuvent se présenter
a < 0 Δ < 0 Δ > 0 Δ = 0
Ψ > 0 Une racine > -b/3a   Deux racines < -b/3a < une racine   Une racine double < -b/3a < une racine simple  
Ψ < 0 Une racine < -b/3a   Une racine < -b/3a < deux racines   Une racine simple < -b/3a < une racine double  



Quatrième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est négatif et Δ' est négatif ou nulModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Les 4 cas qui peuvent se présenter
a < 0 Δ < 0 Δ = 0
Ψ > 0 Une racine > -b/3a   Impossible
Ψ = 0 Une racine = -b/3a   Une racine triple  
Ψ < 0 Une racine < -b/3a   Impossible