Équations et fonctions du second degré/Inéquations du second degré

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Ce chapitre traite de l'étude des inéquations du second degré, comme $(I)~:~2x^{2}-3x+1\leq 0$ d'inconnue x.

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Signe d'un trinôme

Début d’un principe

Résolution d'une inéquation du second degré

On sait, pour une fonction trinôme donnée, déterminer :

• ses variations
• ses racines

À partir de ces renseignements, on peut établir le tableau de signes de la fonction trinôme.

Fin du principe

Soit f le polynôme tel que f(x) = ax² + bx + c et soit Δ son discriminant.

• 1^er cas : Δ > 0, on a deux racines x₁ et x₂ où x₁ < x₂.

  valeurs de x	−∞ x1 x2 +∞
  signe de f(x)	signe de a 0 opposé du signe de a 0 signe de a

• 2^e cas : Δ = 0, on a une racine double x₀.

  valeurs de x	−∞ x0 +∞
  signe de f(x)	signe de a 0 signe de a

• 3^e cas : Δ < 0, on n'a aucune racine réelle.

  valeurs de x	−∞ +∞
  signe de f(x)	signe de a

  Pour étudier le signe d'un trinôme du second degré, il suffit juste de connaitre ses racines. Il est inutile de le factoriser.

  Le lien entre graphique et expression algébrique : étudier le signe d'une expression f(x) revient à déterminer la position de la courbe représentative de f par rapport à l'axe des abscisses.

  • Si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, alors f(x) est positive.
  • Si la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses, alors f(x) est négative.

  
  

  Faites ces exercices : Situation économique conduisant à une étude de signe.

  
  

  
  

  Début d’un théorème
  

  Résumé

  La fonction trinôme est du signe de -a pour toutes les valeurs de la variable x situées entre les racines réelles éventuelles.

  La fonction est du signe de a pour toutes les valeurs de la variable x situées en dehors des racines réelles éventuelles.

  Fin du théorème

  
  

  Exemples

  Début de l'exemple
  

  Exemple détaillé

  Résoudre l'inéquation −3x² + 4x − 1 < 0.

  Solution

  Soit $P(x)=ax^{2}+bx+c$ avec a = −3, b = 4 et c = −1.

  $\Delta =4^{2}-4\times (-3)\times (-1)=16-12=4>0$

  donc P a deux racines :

  $x_{1}={\frac {-4-{\sqrt {4}}}{2\times (-3)}}={\frac {-4-2}{-6}}={\frac {-6}{-6}}=1$

  et

  $x_{2}={\frac {-4+{\sqrt {4}}}{2\times (-3)}}={\frac {-4+2}{-6}}={\frac {-2}{-6}}={\frac {1}{3}}$.

  Comme a < 0, on a le tableau de signes suivant :

  
  

  valeurs de x	-∞ 1/3 1 +∞
  signe de P(x)	– 0 + 0 –

  Donc S = ]–∞, 1/3[ ∪ ]1, +∞[.

   
  Fin de l'exemple
  Début de l'exemple
  

  Autres exemples

  Donner les tableaux de signes des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment. Résoudre ensuite pour chaque fonction l'inéquation $f(x)\geq 0$ d'inconnue $x$.

  • $f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$ ;
  • $f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$ ;
  • $f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$ ;
  • $f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$.

  Solution

  • $f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$

  Le discriminant est $\Delta =1>0$ donc $f_{1}$ admet deux racines réelles : $-1$ et $-{\frac {1}{2}}$.

  ${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&-{\frac {1}{2}}&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{1}(x)&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}$

  $f_{1}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in ]-\infty ,-1]\cup \left[-{\frac {1}{2}},+\infty \right[$

  ---

  • $f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$

  Le discriminant est $\Delta =-4<0$ donc $f_{2}$ n'admet aucune racine réelle.

  ${\begin{array}{c|ccc|}x&-\infty &&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{2}(x)&&+&\\\hline \end{array}}$

  Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{2}(x)\geq 0$.

  ---

  • $f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$

  Le discriminant vaut $\Delta =12>0$, donc $f_{3}$ admet deux racines réelles : $-{\sqrt {3}}$ et ${\sqrt {3}}$.

  ${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\sqrt {3}}&&{\sqrt {3}}&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{3}(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}$

  $f_{3}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in \left[-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}}\right]$.

  ---

  • $f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$

  Le discriminant est $\Delta =1>0$, donc $f_{4}$ admet deux racines réelles : $0$ et $-{\frac {1}{3}}$.

  ${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\frac {1}{3}}&&0&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{4}(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}$

  $f_{4}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in \left[-{\frac {1}{3}},0\right]$.

   
  Fin de l'exemple