Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence
Exercice 4-1
modifierTrouver un équivalent de la suite (un)n∈ℕ définie par :
La suite est décroissante (donc < 1). On montre aisément (par récurrence) qu'elle est de plus strictement positive.
On peut donc appliquer le théorème 2 du cours avec , ce qui donne :
- .
Exercice 4-2
modifierTrouver un équivalent de la suite (un)n∈ℕ définie par :
La fonction est bien définie sur et
- .
Par conséquent, la suite est bien définie et strictement croissante. De plus, est continue et n'a pas de point fixe dans , donc
et
- .
On peut donc appliquer le théorème 1 du cours avec et , ce qui donne :
- .
Exercice 4-3
modifierSoit . Trouver un équivalent de la suite (un)n∈ℕ des sinus itérés de , définie par :
On montre de façon élémentaire que (un) est strictement positive et de limite nulle (cf. Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente#Exercice 7).
Par conséquent, .
On est dans les conditions d’application du théorème 2 avec p = 2 et a = 1/6 . On a donc :
- .
Pour aller plus loin, voir ce lien.
Exercice 4-4
modifierSoit . Trouver un équivalent de la suite définie par et .
donc donc donc donc .
Exercice 4-5
modifierSoit . Trouver un équivalent de la suite définie par et .
Remarquons d'abord que (donc en fait, à partir du rang 1, la suite ne dépend pas de ).
Ensuite, la suite est bornée et même : (par une récurrence facile).
On en déduit que
donc , c'est-à-dire .
Exercice 4-6
modifierCalculer .
D'après le lemme de Cesàro, .
Mais on peut aussi calculer explicitement : , où (cf. Série harmonique) donc .