Application (mathématiques)/Exercices/Bijections canoniques

On rappelle que pour tous ensembles $X$ et $Y$, $Y^{X}$ désigne l'ensemble des applications de $X$ dans $Y$ et ${\mathcal {P}}(X)$ l'ensemble des parties de $X$.

On notera :

• $X\sim Y$ pour « il existe une bijection entre $X$ et $Y$ » ;
• $X_{x}$ pour l'ensemble $\{x\}\times X$ (pour n'importe quel singleton $\{x\}$) ;
• $X\sqcup Y$ pour l'ensemble $X_{0}\cup Y_{1}$.

On utilisera que si $x\neq y$ alors $X_{x}\cap Y_{y}=\varnothing$.

Exercice 3-1

Soient $f:A\to A'$ et $g:B\to B'$ deux bijections. Montrer que :

1. $A_{x}\sim A$ ;
2. $A\times B\sim A'\times B'$ ;
3. si $A'\cap B'=\varnothing$ alors $A\sqcup B\sim A'\cup B'$ ;
4. $B^{A}\sim {B'}^{A'}$ ;
5. ${\mathcal {P}}(A)\sim {\mathcal {P}}(A')$.

Solution

1. L'application $A\to \{x\}\times A,\,a\mapsto (x,a)$ est bijective.
2. L'application $f\times g:A\times B\to A'\times B',\,(a,b)\mapsto (f(a),g(b))$ est bijective, de bijection réciproque $f^{-1}\times g^{-1}$. En effet, $(f^{-1}\times g^{-1})\circ (f\times g)=\left(f^{-1}\circ f\right)\times \left(g^{-1}\circ g\right)=\operatorname {Id} _{A}\times \operatorname {Id} _{B}=\operatorname {Id} _{A\times B}$ et de même, $(f\times g)\circ (f^{-1}\times g^{-1})=\operatorname {Id} _{A'\times B'}$.
3. Si $A'\cap B'=\varnothing$ alors l'application

   $A_{0}\cup B_{1}\to A'\cup B',\,(x,y)\mapsto {\begin{cases}f(y)&{\text{si }}x=0\\g(y)&{\text{si }}x=1\end{cases}}$

   est bijective, de bijection réciproque

   $A'\cup B'\to A_{0}\cup B_{1},\,z\mapsto {\begin{cases}\left(0,f^{-1}(z)\right)&{\text{si }}z\in A'\\\left(1,g^{-1}(z)\right)&{\text{si }}z\in B'.\end{cases}}$

4. L'application $B^{A}\to {B'}^{A'},\,u\mapsto g\circ u\circ f^{-1}$ est bijective, de bijection réciproque ${B'}^{A'}\to B^{A},\,v\mapsto g^{-1}\circ v\circ f$.
5. C'est le cas particulier $B=B'=\{0,1\}$ du point précédent puisque — cf. chapitre « Application caractéristique » — pour tout ensemble $E$, ${\mathcal {P}}(E)\sim \{0,1\}^{E}$. Mais on peut le démontrer directement : l'application $S(f):{\mathcal {P}}(A)\to {\mathcal {P}}(A'),\,X\mapsto f(X)$ est bijective, de réciproque $S\left(f^{-1}\right)$.

 

Exercice 3-2

Montrer que :

1. $A\times B\sim B\times A$ ;
2. $A\sqcup B\sim B\sqcup A$ ;
3. $(A\times B)\times C\sim A\times (B\times C)$ ;
4. $(A\sqcup B)\sqcup C\sim A\sqcup (B\sqcup C)$ ;
5. $A\times (B\sqcup C)\sim (A\times B)\sqcup (A\times C)$ ;
6. $\varnothing \sqcup A\sim A$ ;
7. $A^{\{x\}}\sim A$.

Solution

1. L'application $\sigma _{A,B}:A\times B\to B\times A,\,(a,b)\mapsto (b,a)$ est bijective, de bijection réciproque $\sigma _{B,A}$.
2. D'après l'exercice précédent (point 1), $A_{1}\sim A$ et $B_{0}\sim B$, or $A_{1}\cap B_{0}=\varnothing$ donc (point 3) $A\sqcup B\sim A_{1}\cup B_{0}=B\sqcup A$.
3. L'application $(A\times B)\times C\to A\times (B\times C),\,((a,b),c)\mapsto (a,(b,c))$ est bijective.
4. D'après l'exercice précédent (point 1), $A\sim A_{0}$, $B\sim B_{1}$ et $C\sim C_{2}$, or $A_{0}$, $B_{1}$ et $C_{2}$ sont disjoints deux à deux donc (point 3) $(A\sqcup B)\sqcup C\sim A_{0}\cup B_{1}\cup C_{2}\sim A\sqcup (B\sqcup C)$.
5. D'après l'exercice précédent (points 1 et 2) $A\times B\sim A\times B_{0}$ et $A\times C\sim A\times C_{1}$, or $(A\times B_{0})\cap (A\times C_{1})=A\times (B_{0}\cap C_{1})=A\times \varnothing =\varnothing$ donc (point 3) $(A\times B)\sqcup (A\times C)\sim (A\times B_{0})\cup (A\times C_{1})=A\times (B_{0}\cup C_{1})=A\times (B\sqcup C)$.
6. D'après l'exercice précédent (point 3), $\varnothing \sqcup A\sim \varnothing \cup A=A$.
7. L'application $A^{\{x\}}\to A,\,f\mapsto f(x)$ est bijective.

 

Exercice 3-3

Montrer que :

1. $A^{B\sqcup C}\sim A^{B}\times A^{C}$ ;
2. $(A\times B)^{C}\sim A^{C}\times B^{C}$ ;
3. $(A^{B})^{C}\sim A^{B\times C}$ ;
4. $\left({\mathcal {P}}(B)\right)^{C}\sim {\mathcal {P}}(B\times C)$ : les applications de $C$ dans ${\mathcal {P}}(B)$ sont en bijection avec les relations de $B$ dans $C$ ;
5. ${\mathcal {P}}(B\sqcup C)\sim {\mathcal {P}}(B)\times {\mathcal {P}}(C)$.

Solution

1. L'application $F:A^{B\sqcup C}=A^{B_{0}\cup C_{1}}\to A^{B_{0}}\times A^{C_{1}}$ définie par $F(w)=\left(w_{|B_{0}},w_{|C_{1}}\right)$ (où $w_{|X}$ désigne la restriction de $w$ à $X$) est bijective, de réciproque l'application $G:A^{B_{0}}\times A^{C_{1}}\to A^{B_{0}\cup C_{1}}$ définie par $G(u,v)(z)={\begin{cases}u(z)&{\text{si }}z\in B_{0}\\v(z)&{\text{si }}z\in C_{1}\end{cases}}$. Et d'après l'exercice 3-1 (points 1, 4 et 2), $A^{B_{0}}\times A^{C_{1}}\sim A^{B}\times A^{C}$.
2. L'application $F:A^{C}\times B^{C}\to (A\times B)^{C}$ définie par $F(u,v)(c)=(u(c),v(c))$ est bijective car l'application $G:(A\times B)^{C}\to A^{C}\times B^{C}$ définie par $G(w)=(p_{A}\circ w,p_{B}\circ w)$ (où $p_{A}:A\times B\to A$ et $p_{B}:A\times B\to B$ sont les deux projections canoniques $(x,y)\mapsto x$ et $(x,y)\mapsto y$) vérifie $G\circ F=\operatorname {id} _{A^{C}\times B^{C}}$ et $F\circ G=\operatorname {id} _{(A\times B)^{C}}$. En effet :
   • $\left[(G\circ F)(u,v)\right](c)=\left(p_{A}\left(u(c),v(c)\right),p_{B}\left(u(c),v(c)\right)\right)=\left(u(c),v(c)\right)$ donc $(G\circ F)(u,v)=(u,v)$ ;
   • $\left[(F\circ G)(w)\right](c)=\left((p_{A}\circ w)(c),(p_{B}\circ w)(c)\right)=w(c)$ donc $(F\circ G)(w)=w$.
3. L'application $F:(A^{B})^{C}\to A^{B\times C}$ définie par $F(w)(b,c)=w(c)(b)$ est bijective.
4. C'est le cas particulier $A=\{0,1\}$ de la question précédente, via la bijection canonique entre ${\mathcal {P}}(E)$ et $\{0,1\}^{E}$.
5. De même, c'est le cas particulier $A=\{0,1\}$ de la question 1.

 

Exercice 3-4

1. Déterminer $B^{\varnothing }$ et $\varnothing ^{A}$.
2. À quelle condition a-t-on $B^{A}=\varnothing$ ?

Solution

1. $B^{\varnothing }$ est un singleton (l'unique application de $\varnothing$ dans $B$ a pour graphe $\varnothing$).
   Si $A\neq \varnothing$, $\varnothing ^{A}=\varnothing$.
2. Réciproquement, si $B^{A}=\varnothing$ alors $B=\varnothing$ et $A\neq \varnothing$. En effet, $B^{A}$ est non vide dès que $A=\varnothing$ (cf. question précédente) ou que $B\neq \varnothing$ ($B^{A}$ contient alors les applications constantes).