Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie

Sur la trigonométrie
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Exercices no5
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sur la résolution d'équation
Exo suiv. :Sur les racines n-ièmes
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie
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En cas de difficultés à faire les exercices ci-dessous, voir éventuellement et préalablement d'autres exercices plus simples sur la trigonométrie utilisant les nombres complexes.

Exercice 5-1Modifier

Linéariser les expressions suivantes :

a)    ;

b)    ;

c)   .

Exercice 5-2Modifier

Linéariser les expressions suivantes :

a)  

b)  

c)  

d)  

e)  

f)  

g)  

Exercice 5-3Modifier

Simplifier l’expression :

 

Exercice 5-4Modifier

Question 1Modifier

Soit  . Calculer   et   pour tout   et en déduire   et  .

Question 2Modifier

De manière semblable, calculer les sommes suivantes où  ,   et   sont des réels :

a)    ;

b)    ;

c)   .

Exercice 5-5Modifier

 En utilisant la formule de Moivre, calculez   en fonction de  .

 En déduire une équation du 5e degré admettant pour solution  .

 En interprétant les autres solutions de cette équation, la résoudre, et précisez la valeur de  .

Exercice 5-6Modifier

Soit :  .

 Démontrez que   et   sont conjugués et que la partie imaginaire de   est positive.

 Calculez  ,  , puis   et  .

 Quelles formules trigonométriques pouvez-vous déduire de ce qui précède ?

Exercice 5-7Modifier

Soient   un entier strictement positif et   un réel appartenant à  . On pose :

  •   ;
  •   ;
  •  .
  1. Montrez que   est la somme des   premiers termes d'une suite géométrique complexe, dont on donnera le premier terme et la raison.
  2. En déduire la valeur de  , puis de  , en fonction de   et  .