En cas de difficultés à faire les exercices ci-dessous, voir éventuellement et préalablement d'autres exercices plus simples sur la trigonométrie utilisant les nombres complexes.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Sur la trigonométrieCalcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Linéariser les expressions suivantes :
a)
cos
3
x
sin
3
x
{\displaystyle \cos ^{3}x\sin ^{3}x}
;
b)
cos
4
x
sin
3
x
{\displaystyle \cos ^{4}x\sin ^{3}x}
;
c)
cos
4
x
sin
2
x
{\displaystyle \cos ^{4}x\sin ^{2}x}
.
Solution
a)
cos
3
x
sin
3
x
=
(
sin
2
x
2
)
3
=
{\displaystyle \cos ^{3}x\sin ^{3}x=\left({\frac {\sin 2x}{2}}\right)^{3}=}
(linéarisation classique de sin3 )
3
sin
2
x
−
sin
6
x
32
{\displaystyle {\frac {3\sin 2x-\sin 6x}{32}}}
.
b)
cos
4
x
sin
3
x
=
cos
x
3
sin
2
x
−
sin
6
x
32
=
{\displaystyle \cos ^{4}x\sin ^{3}x=\cos x{\frac {3\sin 2x-\sin 6x}{32}}=}
(produit de cosinus et de sinus )
3
32
sin
3
x
+
sin
x
2
−
1
32
sin
7
x
+
sin
5
x
2
{\displaystyle {\frac {3}{32}}{\frac {\sin 3x+\sin x}{2}}-{\frac {1}{32}}{\frac {\sin 7x+\sin 5x}{2}}}
.
c)
cos
4
x
sin
2
x
=
1
+
cos
2
x
2
(
sin
2
x
2
)
2
=
sin
2
2
x
8
−
cos
2
x
sin
2
2
x
8
=
{\displaystyle \cos ^{4}x\sin ^{2}x={\frac {1+\cos 2x}{2}}\left({\frac {\sin 2x}{2}}\right)^{2}={\frac {\sin ^{2}2x}{8}}-{\frac {\cos 2x\sin ^{2}2x}{8}}=}
(linéarisation de cos×sin2 )
1
−
cos
4
x
16
+
cos
2
x
−
cos
6
x
32
{\displaystyle {\frac {1-\cos 4x}{16}}+{\frac {\cos 2x-\cos 6x}{32}}}
.
Linéariser les expressions suivantes :
a)
2
2
m
cos
2
m
x
{\displaystyle 2^{2m}\cos ^{2m}x}
b)
(
−
1
)
m
2
2
m
sin
2
m
x
{\displaystyle (-1)^{m}2^{2m}\sin ^{2m}x}
c)
2
2
m
+
1
cos
2
m
+
1
x
{\displaystyle 2^{2m+1}\cos ^{2m+1}x}
d)
(
−
1
)
m
2
2
m
+
1
sin
2
m
+
1
x
{\displaystyle (-1)^{m}2^{2m+1}\sin ^{2m+1}x}
e)
sin
(
(
2
n
+
1
)
x
)
sin
x
{\displaystyle {\frac {\sin((2n+1)x)}{\sin x}}}
f)
sin
(
2
n
x
)
sin
x
{\displaystyle {\frac {\sin(2nx)}{\sin x}}}
g)
cos
(
2
x
)
sin
3
x
{\displaystyle \cos(2x)\sin ^{3}x}
Solution
a)
2
2
m
cos
2
m
x
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
2
m
=
∑
k
=
0
2
m
(
2
m
k
)
e
i
(
2
m
−
k
)
x
e
−
i
k
x
=
(
2
m
m
)
+
2
∑
k
=
0
m
−
1
(
2
m
k
)
cos
(
2
(
m
−
k
)
x
)
{\displaystyle 2^{2m}\cos ^{2m}x=\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)^{2m}=\sum _{k=0}^{2m}{2m \choose k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (2m-k)x}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kx}={2m \choose m}+2\sum _{k=0}^{m-1}{2m \choose k}\cos \left(2(m-k)x\right)}
b)
(
−
1
)
m
2
2
m
sin
2
m
x
=
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
2
m
=
∑
k
=
0
2
m
(
2
m
k
)
(
−
1
)
k
e
i
(
2
m
−
k
)
x
e
−
i
k
x
=
(
−
1
)
m
(
2
m
m
)
+
2
∑
k
=
0
m
−
1
(
2
m
k
)
(
−
1
)
k
cos
(
2
(
m
−
k
)
x
)
{\displaystyle (-1)^{m}2^{2m}\sin ^{2m}x=\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)^{2m}=\sum _{k=0}^{2m}{2m \choose k}(-1)^{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (2m-k)x}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kx}=(-1)^{m}{2m \choose m}+2\sum _{k=0}^{m-1}{2m \choose k}(-1)^{k}\cos \left(2(m-k)x\right)}
c)
2
2
m
+
1
cos
2
m
+
1
x
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
2
m
+
1
=
∑
k
=
0
2
m
+
1
(
2
m
+
1
k
)
e
i
(
2
m
+
1
−
k
)
x
e
−
i
k
x
=
2
∑
k
=
0
m
(
2
m
+
1
k
)
cos
(
(
2
m
+
1
−
2
k
)
x
)
{\displaystyle 2^{2m+1}\cos ^{2m+1}x=\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)^{2m+1}=\sum _{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (2m+1-k)x}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kx}=2\sum _{k=0}^{m}{2m+1 \choose k}\cos \left((2m+1-2k)x\right)}
d)
(
−
1
)
m
2
2
m
+
1
sin
2
m
+
1
x
=
1
i
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
2
m
+
1
=
1
i
(
∑
k
=
0
2
m
+
1
(
2
m
+
1
k
)
(
−
1
)
k
e
i
(
2
m
+
1
−
k
)
x
e
−
i
k
x
)
=
2
∑
k
=
0
m
(
2
m
+
1
k
)
(
−
1
)
k
sin
(
(
2
m
+
1
−
2
k
)
x
)
{\displaystyle (-1)^{m}2^{2m+1}\sin ^{2m+1}x={\frac {1}{\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)^{2m+1}={\frac {1}{\mathrm {i} }}\left(\sum _{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}(-1)^{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (2m+1-k)x}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kx}\right)=2\sum _{k=0}^{m}{2m+1 \choose k}(-1)^{k}\sin \left((2m+1-2k)x\right)}
e)
sin
(
(
2
n
+
1
)
x
)
sin
x
=
e
(
2
n
+
1
)
i
x
−
e
−
(
2
n
+
1
)
i
x
e
i
x
−
e
−
i
x
=
∑
k
=
−
n
n
e
2
k
i
x
=
1
+
2
∑
k
=
1
n
cos
(
2
k
x
)
{\displaystyle {\frac {\sin((2n+1)x)}{\sin x}}={\frac {\mathrm {e} ^{(2n+1)\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-(2n+1)\mathrm {i} x}}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}}=\sum _{k=-n}^{n}\mathrm {e} ^{2k\mathrm {i} x}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(2kx)}
.
f)
sin
(
2
n
x
)
sin
x
=
e
2
n
i
x
−
e
−
2
n
i
x
e
i
x
−
e
−
i
x
=
∑
k
=
1
n
(
e
(
2
k
−
1
)
i
x
+
e
−
(
2
k
−
1
)
i
x
)
=
2
∑
k
=
1
n
cos
(
(
2
k
−
1
)
x
)
{\displaystyle {\frac {\sin(2nx)}{\sin x}}={\frac {\mathrm {e} ^{2n\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-2n\mathrm {i} x}}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathrm {e} ^{(2k-1)\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-(2k-1)\mathrm {i} x}\right)=2\sum _{k=1}^{n}\cos((2k-1)x)}
.
g)
cos
(
2
x
)
sin
3
x
=
cos
(
2
x
)
3
sin
x
−
sin
(
3
x
)
4
=
3
4
sin
(
x
+
2
x
)
+
sin
(
x
−
2
x
)
2
−
1
4
sin
(
3
x
+
2
x
)
+
sin
(
3
x
−
2
x
)
2
=
3
sin
(
3
x
)
−
2
sin
x
−
sin
(
5
x
)
8
{\displaystyle \cos(2x)\sin ^{3}x=\cos(2x){\frac {3\sin x-\sin(3x)}{4}}={\frac {3}{4}}{\frac {\sin(x+2x)+\sin(x-2x)}{2}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\sin(3x+2x)+\sin(3x-2x)}{2}}={\frac {3\sin(3x)-2\sin x-\sin(5x)}{8}}}
.
Simplifier l’expression :
sin
a
+
sin
3
a
+
sin
5
a
+
⋯
+
sin
(
2
n
−
1
)
a
cos
a
+
cos
3
a
+
cos
5
a
+
⋯
+
cos
(
2
n
−
1
)
a
{\displaystyle {\frac {\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\cdots +\sin(2n-1)a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cdots +\cos(2n-1)a}}}
Soit
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
. Calculer
C
(
x
)
:=
∑
k
=
0
n
cos
2
k
x
{\displaystyle C(x):=\sum _{k=0}^{n}\cos 2kx}
et
S
(
x
)
:=
∑
k
=
1
n
sin
2
k
x
{\displaystyle S(x):=\sum _{k=1}^{n}\sin 2kx}
pour tout
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
et en déduire
A
(
x
)
:=
∑
k
=
1
n
k
cos
k
x
{\displaystyle A(x):=\sum _{k=1}^{n}k\cos kx}
et
B
(
x
)
:=
∑
k
=
1
n
k
sin
k
x
{\displaystyle B(x):=\sum _{k=1}^{n}k\sin kx}
.
Solution
La somme
C
(
x
)
+
i
S
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
e
i
2
k
x
{\displaystyle C(x)+\mathrm {i} S(x)=\sum _{k=0}^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2kx}}
est égale en général à
e
i
2
(
n
+
1
)
x
−
1
e
i
2
x
−
1
=
e
i
n
x
e
i
(
n
+
1
)
x
−
e
−
i
(
n
+
1
)
x
e
i
x
−
e
−
i
x
=
e
i
n
x
sin
(
n
+
1
)
x
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2(n+1)x}-1}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2x}-1}}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nx}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (n+1)x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (n+1)x}}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nx}{\frac {\sin(n+1)x}{\sin x}}}
,
sauf si
e
i
2
x
=
1
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2x}=1}
, auquel cas cette somme est égale à
n
+
1
{\displaystyle n+1}
(on peut vérifier, dans cette expression comme dans les suivantes, que chaque fonction ainsi décrite par cas est bien continue). Par conséquent :
C
(
x
)
{\displaystyle C(x)}
est égal à
n
+
1
{\displaystyle n+1}
si
x
∈
π
Z
{\displaystyle x\in \pi \mathbb {Z} }
et à
cos
n
x
sin
(
n
+
1
)
x
sin
x
=
1
2
+
sin
(
2
n
+
1
)
x
2
sin
x
{\displaystyle {\frac {\cos nx\sin(n+1)x}{\sin x}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\sin(2n+1)x}{2\sin x}}}
sinon ;
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
est égal à
0
{\displaystyle 0}
si
x
∈
π
Z
{\displaystyle x\in \pi \mathbb {Z} }
et à
sin
n
x
sin
(
n
+
1
)
x
sin
x
=
cos
x
−
cos
(
2
n
+
1
)
x
2
sin
x
{\displaystyle {\frac {\sin nx\sin(n+1)x}{\sin x}}={\frac {\cos x-\cos(2n+1)x}{2\sin x}}}
sinon.
(On peut aussi trouver ces résultats par télescopage .)
Si
x
∉
π
Z
{\displaystyle x\notin \pi \mathbb {Z} }
,
2
A
(
2
x
)
=
∑
k
=
1
n
2
k
cos
2
k
x
=
S
′
(
x
)
=
n
sin
(
2
n
+
1
)
x
sin
x
−
sin
2
n
x
sin
2
x
{\displaystyle 2A(2x)=\sum _{k=1}^{n}2k\cos 2kx=S'(x)={\frac {n\sin(2n+1)x}{\sin x}}-{\frac {\sin ^{2}nx}{\sin ^{2}x}}}
donc (en posant
t
=
2
x
{\displaystyle t=2x}
)
si
t
∉
2
π
Z
{\displaystyle t\notin 2\pi \mathbb {Z} }
,
A
(
t
)
=
n
sin
(
(
2
n
+
1
)
t
/
2
)
2
sin
(
t
/
2
)
−
sin
2
(
n
t
/
2
)
2
sin
2
(
t
/
2
)
{\displaystyle A(t)={\frac {n\sin \left((2n+1)t/2\right)}{2\sin(t/2)}}-{\frac {\sin ^{2}(nt/2)}{2\sin ^{2}(t/2)}}}
.
Si
t
∈
2
π
Z
{\displaystyle t\in 2\pi \mathbb {Z} }
,
A
(
t
)
=
∑
k
=
1
n
k
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle A(t)=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}
.
Si
x
∉
π
Z
{\displaystyle x\notin \pi \mathbb {Z} }
,
2
B
(
2
x
)
=
∑
k
=
1
n
2
k
sin
2
k
x
=
−
C
′
(
x
)
=
(
n
+
1
)
sin
(
2
n
x
)
−
n
sin
(
2
(
n
+
1
)
x
)
2
sin
2
x
{\displaystyle 2B(2x)=\sum _{k=1}^{n}2k\sin 2kx=-C'(x)={\frac {(n+1)\sin \left(2nx\right)-n\sin \left(2(n+1)x\right)}{2\sin ^{2}x}}}
donc
si
t
∉
2
π
Z
{\displaystyle t\notin 2\pi \mathbb {Z} }
,
B
(
t
)
=
(
n
+
1
)
sin
n
t
−
n
sin
(
n
+
1
)
t
4
sin
2
(
t
/
2
)
{\displaystyle B(t)={\frac {(n+1)\sin nt-n\sin(n+1)t}{4\sin ^{2}(t/2)}}}
.
Si
t
∈
2
π
Z
{\displaystyle t\in 2\pi \mathbb {Z} }
,
B
(
t
)
=
0
{\displaystyle B(t)=0}
.
De manière semblable, calculer les sommes suivantes où
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
et
x
{\displaystyle x}
sont des réels :
a)
∑
k
=
0
n
cos
(
a
+
k
b
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\cos(a+kb)}
;
b)
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
cos
(
a
+
k
b
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos(a+kb)}
;
c)
∑
k
=
0
n
k
(
n
k
)
e
i
k
x
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} kx}}
.
1° En utilisant la formule de Moivre, calculez
cos
5
θ
{\displaystyle \cos 5\theta }
en fonction de
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta }
.
2° En déduire une équation du 5e degré admettant pour solution
cos
π
5
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}}
.
3° En interprétant les autres solutions de cette équation, la résoudre, et précisez la valeur de
cos
π
5
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}}
.
Solution
Valeurs trigonométriques exactes
Notons
c
=
cos
θ
{\displaystyle c=\cos \theta }
et
s
=
sin
θ
{\displaystyle s=\sin \theta }
.
cos
5
θ
=
Re
(
(
c
+
i
s
)
5
)
=
c
5
−
10
c
3
s
2
+
5
c
s
4
=
c
5
−
10
c
3
(
1
−
c
2
)
+
5
c
(
1
−
2
c
2
+
c
4
)
=
16
c
5
−
20
c
3
+
5
c
{\displaystyle \cos 5\theta =\operatorname {Re} \left(\left(c+\mathrm {i} s\right)^{5}\right)=c^{5}-10c^{3}s^{2}+5cs^{4}=c^{5}-10c^{3}\left(1-c^{2}\right)+5c\left(1-2c^{2}+c^{4}\right)=16c^{5}-20c^{3}+5c}
.
Si
θ
=
π
5
{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{5}}}
,
cos
5
θ
=
cos
π
=
−
1
{\displaystyle \cos 5\theta =\cos \pi =-1}
donc
16
c
5
−
20
c
3
+
5
c
+
1
=
0
{\displaystyle 16c^{5}-20c^{3}+5c+1=0}
.
Les cinq solutions de cette équation sont les cosinus des cinq angles
θ
∈
[
0
,
2
π
[
{\displaystyle \theta \in \left[0,2\pi \right[}
tels que
5
θ
≡
π
mod
2
π
{\displaystyle 5\theta \equiv \pi {\bmod {2\pi }}}
:
θ
=
(
2
k
+
1
)
π
5
{\displaystyle \theta =(2k+1){\frac {\pi }{5}}}
avec
k
=
0
,
1
,
…
,
4
{\displaystyle k=0,1,\dots ,4}
.
cos
π
=
−
1
{\displaystyle \cos \pi =-1}
(qui correspond à
k
=
2
{\displaystyle k=2}
) est racine de cette équation, et les quatre autres racines sont en fait deux racines doubles :
cos
9
π
5
=
cos
π
5
{\displaystyle \cos {\frac {9\pi }{5}}=\cos {\frac {\pi }{5}}}
et
cos
7
π
5
=
cos
3
π
5
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{5}}=\cos {\frac {3\pi }{5}}}
, donc
16
c
5
−
20
c
3
+
5
c
+
1
{\displaystyle 16c^{5}-20c^{3}+5c+1}
doit pouvoir s'écrire sous la forme
(
c
+
1
)
(
4
c
2
+
p
c
+
q
)
2
{\displaystyle \left(c+1\right)\left(4c^{2}+pc+q\right)^{2}}
. Effectivement,
p
=
−
2
{\displaystyle p=-2}
et
q
=
−
1
{\displaystyle q=-1}
conviennent. La racine positive de
4
c
2
−
2
c
−
1
=
0
{\displaystyle 4c^{2}-2c-1=0}
est
cos
π
5
=
1
+
5
4
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}
(voir Valeurs trigonométriques exactes ). Remarque : l'autre racine,
1
−
5
4
{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}}
, est
cos
3
π
5
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{5}}}
. Par conséquent,
cos
2
π
5
=
5
−
1
4
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
(voir Valeurs trigonométriques exactes ).