Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Sujets de bac

Exercice 1

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Bac STI 2007.

1. Résoudre dans l’ensemble $\scriptstyle \mathbb {C}$ des nombres complexes l'équation $\textstyle z^{2}+4z+16=0$.

2. Pour tout nombre complexe z, on pose $\textstyle P\left(z\right)=z^{3}-64$.

a) Calculer P(4).

b) Trouver les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z,

$P\left(z\right)=\left(z-4\right)\left(az^{2}+bz+c\right)$.

c) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l'équation P(z) = 0.

Solution

1.

$\Delta =b^{2}-4ac=4^{2}-4\times 16=-48=48i^{2}$

$z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

${\begin{cases}z_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-4+{\sqrt {48i^{2}}}}{2\times 1}}={\frac {-4+4i{\sqrt {3}}}{2}}=-2+2i{\sqrt {3}}\\z_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-4-{\sqrt {48i^{2}}}}{2\times 1}}={\frac {-4-4i{\sqrt {3}}}{2}}=-2-2i{\sqrt {3}}\\\end{cases}}$

2.a)

$P(z)=z^{3}-64$

$P(4)=4^{3}-64=64-64$

$P(4)=0$

2.b)

$P(z)=(z-4)(az^{2}+bz+c)$

$P(z)=az^{3}+bz^{2}+cz-4az^{2}-4bz-4c=az^{3}+(b-4a)z^{2}+(c-4b)z-4c$

${\begin{cases}a=1\\b-4a=0\\c-4b=0\\-4c=-64\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b-4=0\\c-4b=0\\c=16\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=4\\16-4b=0\\c=16\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=4\\16-4\times 4=0\\c=16\\\end{cases}}$

$P(z)=(z-4)(z^{2}+4z+16)$

3.c)

${\begin{cases}z_{1}=4\\z_{2}=-2+2i{\sqrt {3}}\\z_{3}=-2-2i{\sqrt {3}}\\\end{cases}}$

 

Exercice 2

Source : Sujet d'examen : 2007

On considère l'équation (E) : $z^{3}-\left(4+i\right)z^{2}+\left(13+4i\right)z-13i=0$ où z est un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de l'équation.

2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait : $z^{3}-\left(4+i\right)z^{2}+\left(13+4i\right)z-13i=\left(z-i\right)\left(az^{2}+bz+c\right)$.

En déduire les solutions de l'équation (E).

Solution

1.

$z^{3}-(4+i)z^{2}+(13+4i)z-13i=0$

$i^{3}-(4+i)i^{2}+(13+4i)i-13i=-i+(4+i)+(13+4i)i-13i=-i+4+i+13i-4-13i=0$

2.

$z^{3}-(4+i)z^{2}+(13+4i)z-13i=(z-i)(az^{2}+bz+c)$

$(z-i)(az^{2}+bz+c)=az^{3}+bz^{2}+cz-aiz^{2}-bzi-ci=az^{3}+(b-ai)z^{2}+(c-bi)z-ci$

${\begin{cases}a=1\\b-ai=-(4+i)\\c-bi=13+4i\\-ci=-13i\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b-i=-4-i)\\c-bi=13+4i\\c=13\\\end{cases}}$
$\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=-4\\13-bi=13+4i\\c=13\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=-4\\13+4i=13+4i\\c=13\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=1\\b=-4\\c=13\\\end{cases}}$

$(z-i)(z^{2}-4z+13)=0$

$\Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times 13=16-52=-36=36i^{2}=(6i)^{2}$

$z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

${\begin{cases}z_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {4+6i}{2\times 1}}=2+3i\\z_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {4-6i}{2\times 1}}=2-3i\\\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}z_{1}=2+3i\\z_{2}=2-3i\\z_{3}=i\\\end{cases}}$

 

Exercice 3

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Bac STI 2007.

Déterminer les nombres complexes c et d vérifiant le système :

${\begin{cases}-2c+d&=1+13i\\-c+d&=4+8i\end{cases}}$

Solution

${\begin{cases}-2c+d&=1+13i\\-c+d&=4+8i\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}d&=1+13i+2c\\-c+d&=4+8i\end{cases}}$
$\Leftrightarrow {\begin{cases}d&=1+13i+2c\\-c+1+13i+2c&=4+8i\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}d&=1+13i+2c\\c&=4-1+8i-13i\end{cases}}$
$\Leftrightarrow {\begin{cases}d&=1+13i+2c\\c&=3-5i\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}d&=1+13i+2(3-5i)\\c&=3-5i\end{cases}}$
$\Leftrightarrow {\begin{cases}d&=1+13i+6-10i\\c&=3-5i\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}d&=7+3i\\c&=3-5i\end{cases}}$

 

Exercice 4

Pour tout nombre complexe Z, on pose $P(Z)=Z^{4}-1$ .

P(Z).

b. En déduire les solutions dans l'ensemble $\scriptstyle \mathbb {C}$ des complexes de l'équation P(Z) = 0.

c. Déduire de la question précédente les solutions dans $\scriptstyle \mathbb {C}$ de l'équation d'inconnue z : $\left({\frac {2z+1}{z-1}}\right)^{4}=1$

Solution

a.

$P(Z)=Z^{4}-1$

l'équation est de la forme $(a^{2}-b^{2})$ donc :

$P(Z)=Z^{4}-1=(Z^{2}+1)(Z^{2}-1)=(Z^{2}-i^{2})(Z^{2}-1^{2})$

$P(Z)=(Z+i)(Z-i)(Z+1)(Z-1)$

b.

${\begin{cases}Z=1\\Z=-1\\Z=i\\Z=-i\end{cases}}$

c.

${\begin{cases}{\frac {2z+1}{z-1}}=1\\{\frac {2z+1}{z-1}}=-1\\{\frac {2z+1}{z-1}}=i\\{\frac {2z+1}{z-1}}=-i\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}2z+1=z-1\\2z+1=-z+1\\2z+1=zi-i\\2z+1=-zi+i\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}z=-2\\z=0\\z=-{\frac {1+i}{2-i}}\\z=-{\frac {-1+i}{2+i}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}z=-2\\z=0\\z=-{\frac {1+3i}{5}}\\z=-{\frac {-1+3i}{5}}\end{cases}}$