Apprendre à lire les expressions mathématiques/Opérateurs n-aire

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Les opérateurs n-aire (ou opérateurs de famille) sont des opérateurs recouvrant à peu près tous les domaines mathématiques, comme l'algèbre, la théorie des ensembles, les applications etc.… Elles ont comme principal intérêt de pouvoir traiter un nombre inconnu (ou grand) de données, simplement. À un certain stade, l’utilisation des opérateurs n-aire est obligatoire pour la compréhension des formules, et pour leurs expressions.

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Opérateurs d'Algèbre

Cette section nécessite des connaissances sur le calcul des nombres relatifs. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Sommation de la famille

On appelle sommation d'une famille une addition de tous les membres d'une famille. L'opérateur de sommation se note sigma Majuscule Grec :

$\sum$

On appelle cela faire "La somme des x"

Début de l'exemple

Exemple

Soit une famille, dont les membres appelés x sont 2, 3 et 8. La sommation de cette famille se notera :
$\sum x=2+3+8=13$

Fin de l'exemple

Produit de la famille

On appelle produit d'une famille une multiplication de tous les membres d'une famille. L'opérateur de produit se note pi Majuscule Grec :

$\prod$

On appelle cela faire "Le produit des x"

Début de l'exemple

Exemple

Soit une famille, dont les membres appelés x sont 3, 10 et 2. Le produit de cette famille se notera
$\prod x=3\times 10\times 2=60$

Fin de l'exemple

Remarque

Remarque

Il n'y a pas d'opérateur de famille pour la division et la soustraction car ces opérateurs ne sont pas associatifs: $a-(b-c)\neq (a-b)-c$. On résout ce problème en remarquant que la soustraction est une addition particulière, et la division une multiplication particulière.

• $18-9$, c’est en fait 18 + (-9)
• $8\div 7=8\times {\frac {1}{7}}$

Opérateurs sur les ensembles

Cette section nécessite des connaissances sur le calcul des ensembles. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Union de la famille

On appelle union d'une famille l'union de tous les ensembles d'une famille. L'opérateur d'union se note d'un grand U majuscule :

$\bigcup$

On appelle cela faire "l'union des x"

Début de l'exemple

Exemple

Soit une famille, dont les membres appelés x sont $\mathbb {W} =\{0;5;8\},\mathbb {X} =\{1;2;3\},\mathbb {Y} =\{-4;4;-10\},$. L'union des x se notera :
$\bigcup x=\mathbb {W} \cup \mathbb {X} \cup \mathbb {Y} =\{-10;-4;0;1;2;3;4;5;8\}$

Fin de l'exemple

Intersection de la famille

On appelle intersection d'une famille l'intersection de tous les membres d'une famille. L'opérateur d'intersection se note d'un grand U majuscule culbuté :

$\bigcap$

On appelle cela faire "l'intersection des x"

Début de l'exemple

Exemple

Soit une famille, dont les membres appelés x sont $\mathbb {W} =\{0;2;9;27\},\mathbb {X} =\{0;2;6;9;15\},\mathbb {Y} =\{0;2;6;9;15\}$. L'intersection des x se notera :
$\bigcap x=\mathbb {W} \cap \mathbb {X} \cap \mathbb {Y} =\{0;2;9\}$

Fin de l'exemple

Remarque

Remarque

Il n'y a pas d'opérateur de famille pour la différence, la différence symétrique et le complément.

Opérateurs Logique

Cette section nécessite des connaissances sur le calcul des propositions. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Conjonction

On appelle conjonction d'une famille la conjonction de toutes les propositions d'une famille. L'opérateur de conjonction se note d'un grand V majuscule culbuté :

$\bigwedge$

On appelle cela faire "la conjonction des x"

Début de l'exemple

Exemple

Soit une famille, dont les membres appelés x sont $~P,Q,R,S,T$ et $~U$. La conjonction des x se notera :
$\bigwedge x=~P\land Q\land R\land S\land T\land U$

Fin de l'exemple

Disjonction

On appelle disjonction d'une famille la disjonction de toutes les propositions d'une famille. L'opérateur de disjonction se note d'un grand V majuscule :

$\bigvee$

On appelle cela faire "la disjonction des x"

Début de l'exemple

Exemple

Soit une famille, dont les membres appelés x sont $~P,Q,R,S,T$ et $~U$. La disjonction des x se notera :
$\bigvee x=~P\lor Q\lor R\lor S\lor T\lor U$

Fin de l'exemple