Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Réels et imaginaires purs

Exercice 3-1

Comment choisir l’entier naturel $n$ pour que :

$\left(1+\mathrm {i} \right)^{n}$

1°  soit un réel positif ?

2°  soit un imaginaire pur ?

Solution

$\left(1+\mathrm {i} \right)^{n}={\sqrt {2}}^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\pi /4}$ est :

1°  réel positif si ${\frac {n\pi }{4}}\equiv 0{\bmod {2\pi }}$, c'est-à-dire $8\mid n$ ;

2°  imaginaire pur si ${\frac {n\pi }{4}}\equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {\pi }}$, c'est-à-dire $n\equiv 2{\bmod {4}}$.

 

Exercice 3-2

À tout point M$(x,\,y)$ du plan rapporté au repère $(O;\,{\vec {u}},\,{\vec {v}})$, on associe le nombre complexe :

$z=\left[\left(2x-y\right)+\left(x-y\right)\mathrm {i} \right]\left[x+\left(x-y\right)\mathrm {i} \right]$.

Déterminer et construire l'ensemble des points M tels que $z$ soit réel.

Solution

$z\in \mathbb {R} \Leftrightarrow \left(2x-y\right)\left(x-y\right)+\left(x-y\right)x=0\Leftrightarrow \left(3x-y\right)\left(x-y\right)=0$.

L'ensemble solution est donc la réunion des deux droites d'équations respectives $y=3x$ et $y=x$.

 

Exercice 3-3

Soit $f$ l'application de $\mathbb {C}$ dans $\mathbb {C}$ définie par :

$f(z)=z^{3}$.

Soit M l'image de $z$ dans le plan complexe.

1°  Déterminer l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit réel.

2°  Déterminer l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit imaginaire pur.

Solution

Si $z=re^{\mathrm {i} \theta }$, $z^{3}=r^{3}e^{3\mathrm {i} \theta }$.

1°   $3\theta \in \pi \mathbb {Z} \Leftrightarrow \theta \in {\frac {\pi }{3}}\mathbb {Z}$. L'ensemble solution est donc la réunion des trois droites d'équations respectives $y=0$, $y=x{\sqrt {3}}$ et $y=-x{\sqrt {3}}$.

2°   $3\theta \in {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \Leftrightarrow \theta \in {\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi }{3}}\mathbb {Z}$. L'ensemble solution est donc la réunion des trois droites d'équations respectives $x=0$, $x=y{\sqrt {3}}$ et $x=-y{\sqrt {3}}$.

 

Exercice 3-4

Soit $f$ l'application de $\mathbb {C} \setminus \{\mathrm {i} \}$ dans $\mathbb {C}$ définie par :

$f(z)={\frac {z+\mathrm {i} }{z-\mathrm {i} }}$.

Soit M l'image de $z$ dans le plan complexe.

1°  Déterminer l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit réel.

2°  Déterminer l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit imaginaire pur.

Solution

$f(z)={\frac {\left(z+\mathrm {i} \right)\left({\bar {z}}+\mathrm {i} \right)}{\left|z-\mathrm {i} \right|^{2}}}={\frac {|z|^{2}-1+2\mathrm {i} \operatorname {Re} (z)}{\left|z-\mathrm {i} \right|^{2}}}$ donc :

1. $f(z)\in \mathbb {R} \Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \mathbb {R}$ (axe des ordonnées) ;
2. $f(z)\in \mathrm {i} \mathbb {R} \Leftrightarrow |z|=1$ (cercle unité).

 

Exercice 3-5

Déterminer l'ensemble des points M du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $z^{3}+z^{2}+z+1$ soit réel.

Représenter cet ensemble.

Solution

$\operatorname {Im} \left(z+z^{2}+z^{3}\right)=y+2xy+x\left(2xy\right)+y\left(x^{2}-y^{2}\right)=y\left(1+2x+3x^{2}-y^{2}\right)$ donc l'ensemble solution est la réunion de l'axe des abscisses et de l'hyperbole d'équation $y^{2}-3\left(x+{\frac {1}{3}}\right)^{2}={\frac {2}{3}}$.

Graphique Google.

 

Exercice 3-6

Soit $P(z)=z^{2}+\mathrm {i} z-1+\mathrm {i}$.

1°  Résoudre dans $\mathbb {C}$ l'équation : $P(z)=0$.

2°  Déterminer l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $P(z)$ soit réel.

Représenter graphiquement cet ensemble.

Solution

1. $-1$ est une racine évidente donc l'autre est $1-\mathrm {i}$.
2. L'ensemble solution est l'hyperbole d'équation $2xy+x+1=0$. Graphique Google.

 

Exercice 3-7

On donne $Z={\frac {1}{\left(4-z\right)\left(2-\mathrm {i} z\right)}}$.

Soit M l'image du nombre complexe $z$, dans un repère orthonormal.

Construire l'ensemble des points M tels que $Z$ soit un réel.

Solution

$Z$ (s'il est défini, c'est-à-dire si $z$ est différent de $4$ et de $-2\mathrm {i}$) est non nul, et réel si et seulement si son inverse l'est.

$\forall x,y\in \mathbb {R} \quad \operatorname {Im} \left[\left(4-x-\mathrm {i} y\right)\left(2-\mathrm {i} x+y\right)\right]=-x\left(4-x\right)-y\left(2+y\right)=x^{2}-4x-y^{2}-2y$.

L'ensemble solution est donc l'hyperbole d'équation $(x-2)^{2}-(y+1)^{2}=3$ (Graphique Google), privée des deux points d'affixes $4$ et $-2\mathrm {i}$.