Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie

Exercice 4-1

On pose $z=\cos ^{2}\varphi +\mathrm {i} \sin \varphi \cos \varphi$.

a)  Déterminer les réels $\varphi$ tels que $z=0$.

b)  Si $z\neq 0$, calculer $z^{-1}$, $z^{2}$, $z^{-2}$, $z^{3}$ et $z^{-3}$.

Solution

a)  $z=0\Leftrightarrow \cos \varphi =0\Leftrightarrow \varphi \equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {\pi }}$.

b)  $z^{2}=\cos ^{2}\varphi \left(\cos 2\varphi +\mathrm {i} \sin 2\varphi \right)$ et $z^{3}=\cos ^{3}\varphi \left(\cos 3\varphi +\mathrm {i} \sin 3\varphi \right)$.

Si $z\neq 0$, $z^{-1}=1-\mathrm {i} \tan \varphi$, $z^{-2}=1-\tan ^{2}\varphi -2\mathrm {i} \tan \varphi$ et $z^{-3}=1-3\tan ^{2}+\mathrm {i} \tan \varphi \left(\tan ^{2}\varphi -3\right)$.

 

Exercice 4-2

Déterminer le module et l'argument des nombres complexes suivants :

• $z_{1}={\frac {{\sqrt {6}}+\mathrm {i} {\sqrt {2}}}{2}}$ ;
• $z_{2}=1+\mathrm {i}$ ;
• $z={\frac {z_{1}}{z_{2}}}$.

En déduire ${\textstyle \cos {\frac {7\pi }{12}}}$ et ${\textstyle \sin {\frac {7\pi }{12}}}$, puis ${\textstyle \cos {\frac {5\pi }{12}}}$ et ${\textstyle \sin {\frac {5\pi }{12}}}$.

Solution

• $z_{1}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$ ;
• $z_{2}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}$ ;
• $z=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /12}$.

$\operatorname {e} ^{7\mathrm {i} \pi /12}={\frac {\mathrm {i} }{z}}={\frac {2\mathrm {i} \left(1+\mathrm {i} \right)}{{\sqrt {6}}+\mathrm {i} {\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}{\frac {-1+\mathrm {i} }{{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }}={\frac {\left(-1+\mathrm {i} \right)\left({\sqrt {3}}-\mathrm {i} \right)}{2{\sqrt {2}}}}$ donc

$\cos {\frac {7\pi }{12}}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}$ donc $\cos {\frac {5\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}$, et $\sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin {\frac {7\pi }{12}}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}$ (voir Valeurs trigonométriques exactes).

 

Exercice 4-3

1°  Écrire la représentation trigonométrique de

$a={\frac {{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2}}$ et

$b={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.

Représenter leurs images dans le plan complexe.

2°  Résoudre dans $\mathbb {C}$ l'équation :

$z^{2}+\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)z-\left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)=0$.

Vérifier que les solutions, $z'$ et $z''$, s'expriment simplement à l'aide de $a$ et $b$.

3°  Construire les images $M'$ et $M''$ de $z'$ et $z''$. Écrire la représentation trigonométrique de $z'$ et $z''$.

4°  En déduire les valeurs de ${\textstyle \cos {\frac {5\pi }{12}}}$, ${\textstyle \sin {\frac {5\pi }{12}}}$, ${\textstyle \cos {\frac {11\pi }{12}}}$ et ${\textstyle \sin {\frac {11\pi }{12}}}$, puis ${\textstyle \cos {\frac {\pi }{12}}}$ et ${\textstyle \sin {\frac {\pi }{12}}}$.

Solution

1. $a=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$ et $b=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 2\pi /3}$.
2. $\Delta =\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{2}+4\left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)=2\left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)=4\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}=\left(2a\right)^{2}$ donc les solutions sont $z'=b+a$ et $z''=b-a$.
3. $z'=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /12}\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}+\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}\right)={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /12}$ et $z''=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /12}\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}\right)=\mathrm {i} {\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /12}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 11\pi /12}$.
4. $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /12}={\frac {b+a}{\sqrt {2}}}$ donc $\cos {\frac {5\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}$ et $\sin {\frac {5\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}$ (voir Valeurs trigonométriques exactes).
   $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 11\pi /12}={\frac {b-a}{\sqrt {2}}}$ donc $\cos {\frac {11\pi }{12}}={\frac {-1-{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}$ et $\sin {\frac {11\pi }{12}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}$.
   ${\textstyle \cos {\frac {\pi }{12}}=-\cos {\frac {11\pi }{12}}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}}$ et ${\textstyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin {\frac {11\pi }{12}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}}$ (voir Valeurs trigonométriques exactes).

 

Exercice 4-4

Linéariser les expressions suivantes :

a)  $\sin ^{2}x\cos ^{2}x$ ;

b)  $\sin ^{2}x\cos ^{3}x$ ;

c)  $\cos ^{4}x$ ;

d)  $\cos ^{4}x\sin x$ ;

e)  $\cos(3x)\sin(4x)$ ;

f)  $\cos ^{5}t$ ;

g)   $\sin ^{3}x\cos x$.

Solution

a)  $\sin ^{2}x\cos ^{2}x={\frac {\sin ^{2}2x}{4}}={\frac {1-\cos 4x}{8}}$ ;

b)  $\sin ^{2}x\cos ^{3}x={\frac {1-\cos 4x}{8}}\cos x={\frac {\cos x}{8}}-{\frac {\cos 5x+\cos 3x}{16}}$ ;

c)  $\cos ^{4}x={\frac {(1+\cos 2x)^{2}}{4}}={\frac {1+2\cos 2x+{\frac {1+\cos 4x}{2}}}{4}}\sin x={\frac {3\sin x}{8}}+{\frac {\cos 2x}{2}}+{\frac {\cos 4x}{8}}$ (pour une autre méthode, voir « Formules de linéarisation ») ;

d)  $\cos ^{4}x\sin x={\frac {3\sin x}{8}}+{\frac {\cos 2x\sin x}{2}}+{\frac {\cos 4x\sin x}{8}}={\frac {3\sin x}{8}}+{\frac {\sin 3x-\sin x}{4}}+{\frac {\sin 5x-\sin 3x}{16}}={\frac {3\sin x}{8}}+{\frac {3\sin 3x}{16}}+{\frac {\sin 5x}{16}}$ ;

e)  $\cos(3x)\sin(4x)={\frac {\sin(4x+3x)+\sin(4x-3x)}{2}}={\frac {\sin(7x)+\sin x}{2}}$ ;

f)  $\cos ^{5}t=\left({\tfrac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}t}}{2}}\right)^{5}={\tfrac {1}{2^{5}}}({\rm {e}}^{5{\rm {i}}t}+5{\rm {e}}^{3{\rm {i}}t}+10{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}+10{\rm {e}}^{-{\rm {i}}t}+5{\rm {e}}^{-3{\rm {i}}t}+10{\rm {e}}^{-5{\rm {i}}t})={\tfrac {\cos(5t)+5\cos(3t)+10\cos t}{2^{4}}}$.

g)  $\sin ^{3}x\cos x={(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x})^{3} \over (2\mathrm {i} )^{3}}{\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}+\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x} \over 2}={(\operatorname {e} ^{3\mathrm {i} x}-3\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}+3\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}-\operatorname {e} ^{-3\mathrm {i} x})(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}+\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}) \over -2^{4}\mathrm {i} }={\operatorname {e} ^{4\mathrm {i} x}-2\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} x}+2\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}-\operatorname {e} ^{-4\mathrm {i} x} \over -2^{4}\mathrm {i} }={-1 \over 2^{3}}{(\operatorname {e} ^{4\mathrm {i} x}-\operatorname {e} ^{-4\mathrm {i} x})-2(\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} x}-\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} x}) \over 2\mathrm {i} }={-1 \over 8}\sin(4x)+{1 \over 4}\sin(2x)$.

 

Exercice 4-5

Dans cet exercice, $Z$ désigne le nombre complexe :

$\cos {\frac {2\pi }{5}}+\mathrm {i} \sin {\frac {2\pi }{5}}$.

1°  Vérifier que $Z^{5}-1=0$.

En déduire la relation :

$1+Z+Z^{2}+Z^{3}+Z^{4}=0$.

2°  a)  Exprimer $Z$, $Z^{2}$, $Z^{3}$ et $Z^{4}$sous forme trigonométrique.

b)  Démontrer les égalités :

$Z+Z^{4}=2\cos {\frac {2\pi }{5}}\quad {\text{et}}\quad Z^{2}+Z^{3}=2\cos {\frac {4\pi }{5}}$.

3°  Utiliser les résultats des questions précédentes pour trouver une relation entre $\cos {\frac {2\pi }{5}}$ et $\cos {\frac {4\pi }{5}}$,

puis montrer que $\cos {\frac {2\pi }{5}}$ est racine de l'équation $4x^{2}+2x-1=0$.

En déduire la valeur de $\cos {\frac {2\pi }{5}}$.

Solution

1°  $Z^{5}=\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 2\pi /5}\right)^{5}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 2\pi }=1$ et $Z\neq 1$ donc $1+Z+Z^{2}+Z^{3}+Z^{4}={\frac {Z^{5}-1}{Z-1}}={\frac {0}{Z-1}}=0$.

2°  a)  $Z^{k}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 2k\pi /5}$.

b)  $Z^{4}={\frac {Z^{5}}{Z}}={\frac {1}{Z}}={\overline {Z}}$ donc $Z+Z^{4}=2\operatorname {Re} (Z)=2\cos {\frac {2\pi }{5}}$.

De même, $Z^{3}={\overline {Z^{2}}}$ donc $Z^{2}+Z^{3}=2\cos {\frac {4\pi }{5}}$.

3°  $0=1+2\cos {\frac {2\pi }{5}}+2\cos {\frac {4\pi }{5}}=1+2\cos {\frac {2\pi }{5}}+2\left(2\cos ^{2}{\frac {2\pi }{5}}-1\right)=4\cos ^{2}{\frac {2\pi }{5}}+2\cos {\frac {2\pi }{5}}-1$ donc $\cos {\frac {2\pi }{5}}$ est la racine positive de l'équation $4x^{2}+2x-1=0$ :

$\cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}$ (voir Valeurs trigonométriques exactes).

Remarque : en posant $Z'=Z^{2}$, on a $Z'+Z'^{4}=Z^{2}+Z^{3}=2\cos {\frac {4\pi }{5}}\quad {\text{et}}\quad Z'^{2}+Z'^{3}=Z^{4}+Z=2\cos {\frac {2\pi }{5}}$, donc l'autre racine, ${\frac {-1-{\sqrt {5}}}{4}}$, de $4x^{2}+2x-1=0$, est $\cos {\frac {4\pi }{5}}$. Par conséquent, $\cos {\frac {\pi }{5}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$ (voir Valeurs trigonométriques exactes).

 

Exercice 4-6

On rappelle que si $q$ est un nombre complexe différent de $1$ et $n$ un élément de $\mathbb {N}$ :

$1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$.

Soit $t$ un élément de $\left[0,\pi \right]$ ; on pose pour $n$ élément de $\mathbb {N} ^{*}$ :

$C_{n}(t)=\sum _{k=1}^{n}\cos kt\quad$ et $\quad S_{n}(t)=\sum _{k=1}^{n}\sin kt$.

1°  Calculer le nombre complexe $C_{n}(t)+\mathrm {i} S_{n}(t)$.

2°  En déduire :

• si $t=0$, $C_{n}(0)=n$ ;
• si $t\in \left]0,\pi \right]$, $C_{n}(t)=\cos {\tfrac {(n+1)t}{2}}{\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}$.

Solution

1. $C_{n}(t)+\mathrm {i} S_{n}(t)=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} kt}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\left(1+\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}+\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 2t}+\dots +\operatorname {e} ^{\mathrm {i} (n-1)t}\right)$ donc :
   • si $t=0$, $C_{n}(t)+\mathrm {i} S_{n}(t)=n$ ;
   • si $t\in \left]0,\pi \right]$, $C_{n}(t)+\mathrm {i} S_{n}(t)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}{\frac {1-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} nt}}{1-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}}}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}{\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} nt/2}}{\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t/2}}}{\frac {\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} nt/2}-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} nt/2}}{\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} t/2}-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t/2}}}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} (n+1)t/2}{\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}$.
2. Immédiat.

 

Exercice 4-7

Soit $\theta \in \mathbb {R}$ tel que $\cos \theta \neq 0$.

1. Démontrer que $\cos(5\theta )={\cos \theta \over (1+t)^{2}}(5t^{2}-10t+1)$, où $t$ désigne $\tan ^{2}\theta$.
2. En déduire que $\tan ^{2}{\frac {\pi }{10}}$ et $\tan ^{2}{\frac {3\pi }{10}}$ sont les deux racines de $5X^{2}-10X+1$.
3. Combien vaut leur somme ?

Solution

1. Notons $c=\cos \theta$ et $s=\sin \theta$.
   $\cos(5\theta )=\operatorname {Re} \left(\left(c+\mathrm {i} s\right)5\right)=c^{5}-10c^{3}s^{2}+5cs^{4}=c^{5}\left(1-10t+5t^{2}\right)={c \over (1+t)^{2}}(5t^{2}-10t+1)$.
2. $5t^{2}-10t+1\Leftrightarrow \cos(5\theta )=0\Leftrightarrow \theta \in \{\pm \pi /10,\pm 3\pi /10\}{\bmod {\pi }}$.
3. $\tan ^{2}{\frac {\pi }{10}}+\tan ^{2}{\frac {3\pi }{10}}=-{\frac {-10}{5}}=2$.

 

Si les exercices de cette page vous ont paru trop simples voir éventuellement d'autres exercices plus compliqués sur la trigonométrie utilisant les nombres complexes. Voir aussi les exercices de la leçon Trigonométrie.