En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Sur les calculs algébriquesApproche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les calculs algébriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Mettre sous la forme algébrique les expressions complexes suivantes :
a)
(
4
−
i
)
2
{\displaystyle \left(4-\mathrm {i} \right)^{2}}
b)
(
2
+
3
i
)
3
{\displaystyle \left(2+3\mathrm {i} \right)^{3}}
c)
(
1
+
i
3
)
3
{\displaystyle \left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{3}}
d)
(
2
+
i
)
(
3
+
5
i
)
{\displaystyle \left(2+\mathrm {i} \right)\left(3+5\mathrm {i} \right)}
e)
(
1
+
2
i
)
2
(
6
−
3
i
)
3
{\displaystyle \left(1+2\mathrm {i} \right)^{2}\left(6-3\mathrm {i} \right)^{3}}
Solution
a)
(
4
−
i
)
2
=
15
−
8
i
{\displaystyle \left(4-\mathrm {i} \right)^{2}=15-8\mathrm {i} }
b)
(
2
+
3
i
)
3
=
2
3
−
3.2.3
2
+
i
(
3.2
2
.3
−
3
3
)
=
−
46
+
9
i
{\displaystyle \left(2+3\mathrm {i} \right)^{3}=2^{3}-3.2.3^{2}+\mathrm {i} \left(3.2^{2}.3-3^{3}\right)=-46+9\mathrm {i} }
c)
(
1
+
i
3
)
3
=
(
2
e
i
π
/
3
)
3
=
−
8
{\displaystyle \left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{3}=\left(2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}\right)^{3}=-8}
d)
(
2
+
i
)
(
3
+
5
i
)
=
2.3
−
1.5
+
i
(
2.5
+
1.3
)
=
1
+
13
i
{\displaystyle \left(2+\mathrm {i} \right)\left(3+5\mathrm {i} \right)=2.3-1.5+\mathrm {i} \left(2.5+1.3\right)=1+13\mathrm {i} }
e)
(
1
+
2
i
)
2
(
6
−
3
i
)
3
=
(
1
+
2
i
)
5
(
−
3
i
)
3
=
27
i
(
1
−
10.2
2
+
5.2
4
+
i
(
5.2
−
10.2
3
+
2
5
)
)
=
27
i
(
41
−
38
i
)
=
27
(
38
+
41
i
)
{\displaystyle \left(1+2\mathrm {i} \right)^{2}\left(6-3\mathrm {i} \right)^{3}=\left(1+2\mathrm {i} \right)^{5}\left(-3\mathrm {i} \right)^{3}=27\mathrm {i} \left(1-10.2^{2}+5.2^{4}+\mathrm {i} \left(5.2-10.2^{3}+2^{5}\right)\right)=27\mathrm {i} \left(41-38\mathrm {i} \right)=27\left(38+41\mathrm {i} \right)}
Mettre sous la forme algébrique les expressions complexes suivantes :
a)
1
+
i
3
3
−
i
{\displaystyle {\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}}
b)
(
1
−
i
1
+
i
)
2
{\displaystyle \left({\frac {1-\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}\right)^{2}}
c)
(
1
i
+
i
2
)
2
{\displaystyle \left({\frac {1}{\mathrm {i} }}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\right)^{2}}
Solution
a)
1
+
i
3
3
−
i
=
i
{\displaystyle {\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}=\mathrm {i} }
b)
(
1
−
i
1
+
i
)
2
=
−
2
i
2
i
=
−
1
{\displaystyle \left({\frac {1-\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}\right)^{2}={\frac {-2\mathrm {i} }{2\mathrm {i} }}=-1}
c)
(
1
i
+
i
2
)
2
=
(
−
i
2
)
2
=
−
1
4
{\displaystyle \left({\frac {1}{\mathrm {i} }}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\right)^{2}=\left(-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\right)^{2}=-{\frac {1}{4}}}
Mettre sous la forme algébrique les expressions complexes suivantes :
a)
1
+
α
i
2
α
+
(
α
2
−
1
)
i
{\displaystyle {\frac {1+\alpha \mathrm {i} }{2\alpha +\left(\alpha ^{2}-1\right)\mathrm {i} }}}
b)
(
α
+
β
i
)
2
α
+
(
β
+
1
)
i
{\displaystyle {\frac {\left(\alpha +\beta \mathrm {i} \right)^{2}}{\alpha +\left(\beta +1\right)\mathrm {i} }}}
Solution
a)
1
+
α
i
2
α
+
(
α
2
−
1
)
i
=
i
(
α
−
i
)
i
(
α
−
i
)
2
=
1
α
−
i
=
α
+
i
α
2
+
1
{\displaystyle {\frac {1+\alpha \mathrm {i} }{2\alpha +\left(\alpha ^{2}-1\right)\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} \left(\alpha -\mathrm {i} \right)}{\mathrm {i} \left(\alpha -\mathrm {i} \right)^{2}}}={\frac {1}{\alpha -\mathrm {i} }}={\frac {\alpha +\mathrm {i} }{\alpha ^{2}+1}}}
b)
(
α
+
β
i
)
2
α
+
(
β
+
1
)
i
=
(
α
2
−
β
2
+
2
α
β
i
)
(
α
−
(
β
+
1
)
i
)
α
2
+
(
β
+
1
)
2
=
α
3
+
α
β
2
+
2
α
β
+
i
(
α
2
β
+
β
3
−
α
2
+
β
2
)
α
2
+
(
β
+
1
)
2
{\displaystyle {\frac {\left(\alpha +\beta \mathrm {i} \right)^{2}}{\alpha +\left(\beta +1\right)\mathrm {i} }}={\frac {\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2\alpha \beta \mathrm {i} \right)\left(\alpha -\left(\beta +1\right)\mathrm {i} \right)}{\alpha ^{2}+\left(\beta +1\right)^{2}}}={\frac {\alpha ^{3}+\alpha \beta ^{2}+2\alpha \beta +\mathrm {i} \left(\alpha ^{2}\beta +\beta ^{3}-\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)}{\alpha ^{2}+\left(\beta +1\right)^{2}}}}
Résoudre, dans ℂ, les équations suivantes :
a)
(
2
+
i
)
z
=
5
(
1
−
2
i
)
{\displaystyle \left(2+\mathrm {i} \right)z=5\left(1-2\mathrm {i} \right)}
b)
(
3
+
i
)
z
−
3
(
2
−
3
i
)
=
2
−
5
i
{\displaystyle \left(3+\mathrm {i} \right)z-3\left(2-3\mathrm {i} \right)=2-5\mathrm {i} }
c)
4
z
2
+
8
|
z
|
2
=
3
{\displaystyle 4z^{2}+8\left|z\right|^{2}=3}
d)
z
=
i
z
¯
{\displaystyle z=\mathrm {i} {\overline {z}}}
e)
i
z
−
z
¯
+
2
−
3
i
=
0
{\displaystyle \mathrm {i} z-{\overline {z}}+2-3\mathrm {i} =0}
Résoudre les systèmes suivants :
a)
{
i
x
−
(
2
−
i
)
y
=
−
7
+
6
i
(
1
+
i
)
x
+
(
1
−
i
)
y
=
1
−
i
{\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {i} x-\left(2-\mathrm {i} \right)y=-7+6\mathrm {i} \\\left(1+\mathrm {i} \right)x+\left(1-\mathrm {i} \right)y=1-\mathrm {i} \end{cases}}}
b)
{
(
1
+
i
)
x
−
i
y
=
1
−
i
(
3
+
i
)
x
+
(
1
−
i
)
y
=
11
+
4
i
{\displaystyle {\begin{cases}\left(1+\mathrm {i} \right)x-\mathrm {i} y=1-\mathrm {i} \\\left(3+\mathrm {i} \right)x+\left(1-\mathrm {i} \right)y=11+4\mathrm {i} \end{cases}}}
c)
{
2
i
x
−
(
1
+
i
)
y
=
4
3
x
¯
−
2
i
y
¯
=
i
{\displaystyle {\begin{cases}2\mathrm {i} x-\left(1+\mathrm {i} \right)y=4\\3{\overline {x}}-2\mathrm {i} {\overline {y}}=\mathrm {i} \end{cases}}}
Soit
f
(
z
)
=
z
2
−
(
3
−
2
i
)
z
+
5
−
i
{\displaystyle f\left(z\right)=z^{2}-\left(3-2\mathrm {i} \right)z+5-\mathrm {i} }
1° Vérifier que
f
(
z
)
{\displaystyle f\left(z\right)}
z
−
1
−
i
{\displaystyle z-1-\mathrm {i} }
2° Factoriser
f
(
z
)
{\displaystyle f\left(z\right)}
Solution
1°
f
(
1
+
i
)
=
(
1
+
i
)
2
−
(
3
−
2
i
)
(
1
+
i
)
+
5
−
i
=
2
i
−
(
5
+
i
)
+
5
−
i
=
0
{\displaystyle f\left(1+\mathrm {i} \right)=\left(1+\mathrm {i} \right)^{2}-\left(3-2\mathrm {i} \right)\left(1+\mathrm {i} \right)+5-\mathrm {i} =2\mathrm {i} -\left(5+\mathrm {i} \right)+5-\mathrm {i} =0}
2°
3
−
2
i
−
(
1
+
i
)
=
2
−
3
i
{\displaystyle 3-2\mathrm {i} -\left(1+\mathrm {i} \right)=2-3\mathrm {i} }
f
(
z
)
=
(
z
−
1
−
i
)
(
z
−
2
+
3
i
)
{\displaystyle f\left(z\right)=\left(z-1-\mathrm {i} \right)\left(z-2+3\mathrm {i} \right)}
Soit
α
{\displaystyle \alpha }
z
=
(
α
−
i
)
[
(
10
−
α
)
+
(
2
+
α
)
i
]
{\displaystyle z=\left(\alpha -\mathrm {i} \right)\left[\left(10-\alpha \right)+\left(2+\alpha \right)\mathrm {i} \right]}
Déterminer
α
{\displaystyle \alpha }
z
{\displaystyle z}
Préciser, dans ce cas, la valeur de
z
{\displaystyle z}
![{\displaystyle z=\left(\alpha -\mathrm {i} \right)\left[\left(10-\alpha \right)+\left(2+\alpha \right)\mathrm {i} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f02a6535845fc20b37d8406f49c80392cf5865)
![{\displaystyle \left(\alpha -\mathrm {i} \right)\left[\left(10-\alpha \right)+\left(2+\alpha \right)\mathrm {i} \right]=\left(\alpha +\mathrm {i} \right)\left[\left(10-\alpha \right)-\left(2+\alpha \right)\mathrm {i} \right]\Leftrightarrow 2\alpha \left(2+\alpha \right)\mathrm {i} =2\mathrm {i} \left(10-\alpha \right)\Leftrightarrow \alpha ^{2}+3\alpha -10=0\Leftrightarrow \alpha =-5{\text{ ou }}2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ed4e4b69d1df78a5965c397e1c1a9533ed8afe)
