Approfondissement sur les suites numériques/Récurrence affine d'ordre 2

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Approfondissement sur les suites numériques/Récurrence affine d'ordre 2
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On étudie les suites récurrentes affines d'ordre 2 à valeurs dans un corps commutatif K, en s'intéressant en particulier aux cas où le corps est celui des réels ou des complexes.

DéfinitionsModifier


Cas linéaireModifier

On cherche l’ensemble   des suites vérifiant la relation de récurrence linéaire  .

Début d’un théorème
Fin du théorème


On considère le polynôme du second degré :

 .

Supposons que polynôme admet deux racines   — si  , c'est toujours le cas. On peut donc écrire :

 .

Le cas   est celui où P admet une racine double, c'est-à-dire où   est également racine de la dérivée de P :

 .
Début d’un théorème
Fin du théorème


Cas affineModifier

On note   l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence affine  .

Début d'un lemme
Fin du lemme


Pour pouvoir affirmer que   est un espace affine de direction  , il reste donc à trouver, en fonction de   (supposé non nul), un élément particulier de  .

Premier cas : P(1) ≠ 0Modifier

On suppose que  . Cherchons un scalaire   tel que la suite (constante) de terme général :   soit une solution particulière de la récurrence affine.

  est nul pour tout n si et seulement si  .

La solution est donc :  .

Second cas : P(1) = 0Modifier

On suppose maintenant que :  .

Second cas, premier sous-cas : P'(1) ≠ 0Modifier

On suppose que  . Cherchons un scalaire   tel que la suite   soit une solution particulière de la récurrence affine.

 

est nul pour tout n si et seulement si  .

La solution est donc :  .

Second cas, second sous-cas : P'(1) = 0Modifier

On suppose que P'(1) = 0. Cherchons un scalaire   tel que la suite   soit une solution particulière de la récurrence affine.

On trouve par les mêmes méthodes que précédemment que la solution est :  .

Cas des suites réellesModifier

Si   et si le discriminant   du polynôme caractéristique P est strictement négatif, les racines complexes   et   de P sont distinctes mais non réelles. Elles sont conjuguées l'une de l'autre :   et  .

Les suites complexes solutions sont donc, dans le cas général, toutes les suites de la forme :

  avec   paramètres complexes.

Par le changement de paramètres  , ce sont aussi les suites de la forme

  avec   paramètres complexes.

Les suites réelles solutions sont donc les suites de la forme

  avec   paramètres réels.

En effet, la condition sur les paramètres A, B (complexes a priori) pour que cette suite soit à valeurs réelles est que A et B soient réels : c'est immédiat dans un sens (si A, B sont réels alors la suite est réelle), et pour la réciproque il suffit de remarquer que   et   non nul (donc si   sont réels alors A et B aussi).

Cas des suites entièresModifier

Lorsque les trois coefficients   de la récurrence et les deux valeurs initiales   de la suite sont des entiers (relatifs), la suite est évidemment à valeurs entières. Si ces cinq entiers sont positifs ou nuls, elle est même à valeurs dans  , comme la suite de Fibonacci.

Résumé et conclusionModifier

Début d’un principe
Fin du principe


Début d’un principe
Fin du principe