Calcul avec les nombres complexes/Écriture exponentielle et trigonométrique

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Il existe une seconde forme d'écriture des complexes.

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L'écriture exponentielle d’un nombre complexe permet d'extraire du premier coup d’œil son module et son argument, et permet aussi de mémoriser plus aisément les propriétés vues dans le chapitre précédent sur les modules et les arguments.

Notation exponentielle

Formule d'Euler

Définition

La formule d'Euler relie l'exponentielle complexe avec le cosinus et le sinus dans le plan complexe : $\forall \theta \in \mathbb {R} \quad \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }=\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta$.

Voir l'annexe « Démonstration de la formule d'Euler ».

On remarque tout d’abord la périodicité : $\forall k\in \mathbb {Z} \quad \operatorname {e} ^{\mathrm {i} (\theta +2k\pi )}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$. Les valeurs particulières, qui sont les intersections du cercle trigonométrique avec les axes des réels et des imaginaires, sont : $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 0}=\operatorname {e} ^{0}=1$, $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \sin \pi =-1$, $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}=\cos(\pi /2)+\mathrm {i} \sin(\pi /2)=\mathrm {i}$, $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} (-\pi /2)}=\cos(-\pi /2)+\mathrm {i} \sin(-\pi /2)=-\mathrm {i}$, $\operatorname {e} ^{\mathrm {-} i(\pi /2)}=\cos(\pi /2)-\mathrm {i} \sin(\pi /2)=-\mathrm {i}$.

Valeurs particulières du cercle trigonométrique

Écriture exponentielle

Pour tout nombre complexe $z$ non nul, de module $r$ et d'argument principal $\theta$, on a : $z=r\left(\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta \right)=r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$.

Écriture exponentielle d’un nombre complexe

Soient $z$ un nombre complexe non nul et $r$ son module.

La forme exponentielle de $z$ est : $z=r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ pour tous les arguments $\theta$ de $z$.

Reconnaître un nombre complexe sous sa forme exponentielle

Tirer le module et un argument d’un nombre complexe sous sa forme exponentielle

Réciproquement, tout nombre complexe z non nul, qui s'écrit $z=r\times e^{i\theta }$ avec $r>0$, a pour module r et a un argument égal à $\theta$: $|z|=r$ et $arg(z)=\theta [2\pi ]$.

Si $r<0$, alors $z=re^{i\theta }\times (-1)^{2}=(-r)(-1)e^{i\theta }=(-r)(e^{i\pi })e^{i\theta }=(-r)e^{i(\theta +\pi )}$, et on a : $|z|=-r$ et $arg(z)=\theta +\pi [2\pi ]$. Notez bien que $-r>0$.

Conjugué

Conjugué d’un nombre complexe sous sa forme exponentielle Soit z un nombre complexe non nul, sous sa forme exponentielle : $z=re^{i\theta }$. Le conjugué de z s'écrit : ${\bar {z}}=re^{i(-\theta )}$. Début d'une démonstration Démonstration $z=re^{i\theta }=r\cos(\theta )+ir\sin(\theta )$. ${\bar {z}}=r\cos(\theta )-ir\sin(\theta )=r\cos(-\theta )+ir\sin(-\theta ))$ car $\cos(-\theta )=\cos(\theta )$ et $\sin(-\theta )=-\sin(\theta )$. Au final : ${\bar {z}}=re^{i(-\theta )}$. Fin de la démonstration

Le conjugué d’un nombre complexe.

Exemple

Début de l'exemple

Écriture exponentielle et trigonométrique : Écrire un complexe sous ses différentes formes

1) Soit $z=4{\sqrt {3}}+4i$, écrire ce complexe sous forme exponentielle et trigonométrique :

• Calcul du module : $\rho =|z|={\sqrt {{(4{\sqrt {3}})}^{2}+{4}^{2}}}={\sqrt {48+16}}=8$
• Calcul de l'argument : ${\begin{cases}\cos {(\theta )}={\frac {4{\sqrt {3}}}{8}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\sin {(\theta )}={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}\end{cases}}$ d'où $\theta ={\frac {\pi }{6}}$

Donc $z=8e^{\left(i{\frac {\pi }{6}}\right)}=8(\cos {\left({\frac {\pi }{6}}\right)}+i\sin {\left({\frac {\pi }{6}}\right)})$
2) Soit $\rho =3$ et $\theta ={\frac {2\pi }{3}}$, écrire ce complexe sous forme cartésienne.

• Calcul de la partie réelle : ${\begin{matrix}x&=&\rho \times \cos {(\theta )}=3\times \cos {\left({\frac {2\pi }{3}}\right)}\\\ &=&3\times \left({\frac {-1}{2}}\right)=-{\frac {3}{2}}\end{matrix}}$
• Calcul de la partie imaginaire : ${\begin{matrix}y&=&\rho \times \sin {(\theta )}=3\times \sin {\left({\frac {2\pi }{3}}\right)}\\\ &=&3\times \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\end{matrix}}$

D'où $z=-{\frac {3}{2}}+{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}$

Fin de l'exemple

Propriétés des arguments et des modules

Soit z et z' deux nombres complexes non nuls sous la forme exponentielle : $z=re^{i\theta }$ et $z'=r'e^{i\theta '}$ avec $r>0$ et $r'>0$.

Nous allons maintenant revoir toutes les propriétés des arguments et des modules du chapitre précédent, qui seront maintenant plus faciles à comprendre et à se souvenir grâce à la notation exponentielle.

Produit

Produit de deux nombres complexes $zz'=re^{i\theta }\times r'e^{i\theta '}=(rr')e^{i\theta +i\theta '}=(rr')e^{i(\theta +\theta ')}$. Or $r>0$ et $r'>0$, d'où $rr'>0$. Au final, $|zz'|=rr'=|z||z'|$ et $arg(zz')=\theta +\theta '=arg(z)+arg(z')\,[2\pi ]$.

Produit de deux nombres complexes dans le cas général.

Carré d’un nombre complexe Le carré d’un nombre complexe a un module au carré et un argument qui double : $z^{2}=(re^{i\theta })^{2}=r^{2}(e^{i\theta })^{2}=r^{2}e^{i2\theta }$.

Carré d’un nombre complexe.

Opposé d’un nombre complexe $-z=-(re^{i\theta })=r(-1)e^{i\theta }=r(e^{i\pi })e^{i\theta }=re^{i\theta +i\pi }=re^{i(\theta +\pi )}$

Opposé d’un nombre complexe.

Inverse et division

Inverse d’un nombre complexe ${\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{i\theta }}}={\frac {1}{r}}e^{i(-\theta )}$ car $z\neq 0$. Or $r>0\Rightarrow 1/r>0$. Au final, $\left|{\frac {1}{z}}\right|={\frac {1}{r}}={\frac {1}{|z|}}$ et $arg\left({\frac {1}{z}}\right)=-\theta =-arg(z)\,[2\pi ]$.

Inverse d’un nombre complexe.

Division de deux nombres complexes ${\frac {z}{z'}}={\frac {re^{i\theta }}{r'e^{i\theta '}}}={\frac {r}{r'}}e^{i\theta -i\theta '}={\frac {r}{r'}}e^{i(\theta -\theta ')}$ car $z'\neq 0$. Or $r>0$ et $r'>0$, d'où ${\frac {r}{r'}}>0$. Au final, $\left|{\frac {z}{z'}}\right|={\frac {r}{r'}}={\frac {|z|}{|z'|}}$ et $arg\left({\frac {z}{z'}}\right)=\theta -\theta '=arg(z)-arg(z')\,[2\pi ]$.

Division de deux nombres complexes.

Puissance

Soit $n\in \mathbb {Z}$. Si $n\geq 0$ : $z^{n}=(re^{i\theta })^{n}=r^{n}(e^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }$. Si $n<0$, alors $-n>0$, d'où avec la propriété précédente $z^{-n}=r^{-n}e^{i(-n)\theta }$, et on a : $z^{-n}={\frac {1}{z^{n}}}\Leftrightarrow z^{n}={\frac {1}{z^{-n}}}={\frac {1}{r^{-n}e^{i(-n)\theta }}}={\frac {1}{r^{-n}}}e^{-(i(-n)\theta )}=r^{n}e^{in\theta }$ car $z^{n}\neq 0$ et $z^{-n}\neq 0$. Puissance d’un nombre complexe D'où $\forall n\in \mathbb {Z} ,\,z^{n}=r^{n}e^{in\theta }$. Or $r>0\Rightarrow r^{n}>0$. Au final, $|z^{n}|=r^{n}=|z|^{n}$ et $arg(z^{n})=n\theta =n\times arg(z)\,[2\pi ]$.

Les 10 premières puissances d’un nombre complexe. Ici le module tend vers 0 car le complexe en question se trouve à l'intérieur du cercle trigonométrique. S'il avait été à l’extérieur, le module aurait tendu vers l'infini.

Exemples

Début de l'exemple

Propriétés des arguments et des modules : Exemple sur les propriétés

Soit $z=2e^{\left(i{\frac {\pi }{4}}\right)}$, calculer :

• ${\bar {z}}={\overline {2e^{\left(i{\frac {\pi }{4}}\right)}}}=2e^{\left(-i{\frac {\pi }{4}}\right)}$
• $-z=2e^{\left(i{\frac {\pi }{4}}+i\pi \right)}=2e^{\left(i{\frac {5\pi }{4}}\right)}$
• ${z}^{3}={2}^{3}e^{\left(i{\frac {\pi }{4}}\times 3\right)}=8e^{\left(i{\frac {3\pi }{4}}\right)}$

Fin de l'exemple

Calculer le cosinus et le sinus d’un angle

On peut aussi utiliser ces propriétés pour calculer exactement un cosinus ou un sinus d’un angle $\theta$.

Pour cela, il suffit juste de connaître deux angles a et b dont leur somme est égale à $\theta$, et de connaître leurs cosinus et sinus.

Voici ensuite la démarche à suivre :

• On a $a+b=\theta$ et on connaît $cos(a)$, $sin(a)$, $cos(b)$ et $sin(b)$.
• Pour simplifier, on prend un module de 1 (les points sont sur le cercle trigonométrique).
• Formule d'Euler : $e^{i\theta }=\cos(\theta )+i\sin(\theta )$.
• $e^{i\theta }=e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib}=(\cos(a)+i\sin(a))(\cos(b)+i\sin(b))$.
• Trouver les valeurs algébriques (cartésiennes) des deux nombres complexes qui correspondent à un module de 1 et à un argument respectivement de a et de b :
  $\cos(a)+i\sin(a)=x+iy$ et $\cos(b)+i\sin(b)=x'+iy'$. La réussite de l'exercice dépend de cette étape.
• Multiplier ces deux nombres complexes sous leur forme algébrique : $e^{ia}e^{ib}=(x+iy)(x'+iy')=xx'-yy'+i(x'y+xy')$.
• $e^{i\theta }=\cos(\theta )+i\sin(\theta )=e^{ia}e^{ib}=xx'-yy'+i(x'y+xy')$.
• On identifie, en séparant les parties réelles et imaginaires :
  $\cos(\theta )=xx'-yy'$ et $\sin(\theta )=x'y+xy'$.

Début de l'exemple

Déterminer la valeur exacte du cosinus et du sinus de ${\frac {7\pi }{12}}.$

On se propose de déterminer $\cos \left({\frac {7\pi }{12}}\right)$ et $\sin \left({\frac {7\pi }{12}}\right)$.

On remarque que ${\frac {7\pi }{12}}={\frac {\pi }{3}}+{\frac {\pi }{4}}$, et que leurs cosinus et sinus respectifs sont connus.

On pose $r=1$ (on prend les nombres complexes situés sur le cercle trigonométrique).

• Soit $z_{1}=e^{\left(i{\frac {\pi }{3}}\right)}=\cos {\left({\frac {\pi }{3}}\right)}+i\sin {\left({\frac {\pi }{3}}\right)}$ et $z_{2}=e^{i\left({\frac {\pi }{4}}\right)}=\cos {\left({\frac {\pi }{4}}\right)}+i\sin {\left({\frac {\pi }{4}}\right)}$.
  On a donc $e^{(i{\frac {7\pi }{12}})}=z_{1}z_{2}=\cos \left({\frac {7\pi }{12}}\right)+i\sin \left({\frac {7\pi }{12}}\right)$.
• On sait que $z_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}$ et $z_{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {i{\sqrt {2}}}{2}}$.
• On peut donc calculer la forme algébrique du produit.
  On trouve alors : $z_{1}z_{2}={\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}}{4}}+i{\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}{4}}$.
• Par identification, ${\begin{cases}{\mbox{Re}}:\cos \left({\frac {7\pi }{12}}\right)={\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}}{4}}\\{\mbox{Im}}:\sin \left({\frac {7\pi }{12}}\right)={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}{4}}\end{cases}}$.

Fin de l'exemple

Ce qui nous amène à traiter le cas général : les formules d'addition des cosinus et des sinus.

Formules d'addition des cosinus et sinus

Formule d'Euler pour retrouver les formules d'addition de cos et sin

La formule d'Euler, $\forall \theta \in \mathbb {R} ,\,e^{i\theta }=\cos {(\theta )}+i\sin {(\theta )}$, nous permet de retrouver facilement les formules d'addition des cosinus et des sinus.

Prenons deux angles et multiplions les nombres complexes qui leurs correspondent sur le cercle trigonométrique : $\forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},\,e^{i(a+b)}=e^{ia}\times e^{ib}\Leftrightarrow \cos(a+b)\,+\,i\sin(a+b)=(\,\cos {a}\,+\,i\,\sin {a}\,)\times (\,\cos {b}\,+\,i\sin {b}\,)$.

En continuant le calcul, on a : $\cos(a+b)\,+\,i\sin(a+b)=\cos {a}\cos {b}\,-\,\sin {a}\sin {b}\,+\,i(\,\sin {a}\cos {b}\,+\,\cos {a}\sin {b}\,)$.

C'est en identifiant les parties réelles et les parties imaginaires que l’on obtient les formules déjà connues :

• $\cos(a+b)=\cos {a}\cos {b}-\sin {a}\sin {b}$, et
• $\sin(a+b)=\sin {a}\cos {b}+\cos {a}\sin {b}$.

Ce résultat est à mettre en relation avec le produit de deux nombres complexes : $(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}+x_{1}iy_{2}+iy_{1}x_{2}+i^{2}y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})$. On peut ainsi se souvenir des formules d'addition en remplaçant les x par des cos, les y par des sin, et bien sûr avec $i^{2}=-1$ !

Cette méthode permet aussi de retrouver par exemple $cos(a+b+c)$ ou encore $sin(-a-b+c+d+e-f)$, en développant des formules plus compliquées.