Calcul avec les nombres complexes/Équations

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Les équations dans l’ensemble des complexes se résolvent de la même façon que celles dans l’ensemble des réels. Il ne faut pas oublier que les nombres réels sont des nombres complexes particuliers, il faut donc les donner si nécessaire. Il est parfois nécessaire de poser $z=x+iy$ mais à d’autres moments, laisser z facilite les calculs.

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Pour comprendre comment résoudre ces équations, nous allons utiliser des exemples.

Équations du premier degré

Équations du premier degré avec uniquement $z$

Dans ce genre d'équation, il n’est pas utile de poser $z=x+iy$.

Début de l'exemple

Équations : Équations du premier degré avec uniquement z

Résoudre $3z+12-5i=0$
On écrit:
$3z=-12+5i$
$z=-4+{\frac {5}{3}}i$

Fin de l'exemple

Équations du premier degré avec $z$ et ${\bar {z}}$

À l'inverse, il est nécessaire ici de poser $z=x+iy$ et ${\bar {z}}=x-iy$, et il faut appliquer la définition de l'égalité de deux nombres complexes.

Début de l'exemple

Équations : Équations du premier degré avec $z$ et ${\bar {z}}$

Résoudre $3z+2i{\bar {z}}=5i-1$.

On pose $z=x+iy$ et ${\bar {z}}=x-iy$ :

$3(x+iy)+2i(x-iy)=5i-1$,

ce qui nous donne :

$3x+2y+i(3y+2x)=5i-1$.

D'après la définition, les parties réelles sont égales et les parties imaginaires sont égales.

Il faut bien comprendre que le premier nombre complexe est $3x+2y+i(3y+2x)$ et que le second est $5i-1$.

On obtient donc deux équations $z={\begin{cases}L1:3x+2y=-1,&{\text{la partie réelle}}\\L2:3y+2x=5,&{\text{la partie imaginaire}}\end{cases}}$

On résout comme tout système d'équations, on veut faire en sorte de ne plus avoir de y dans l'équation.

On a $3L_{1}-2L_{2}=9x+6y-6y-4x=-3-10$,

d'où $x={\frac {-13}{5}}$ et l'on remplace $x$ par sa valeur et l'on obtient $y={\frac {17}{5}}$.

La solution est donc $z={\frac {-13}{5}}+{\frac {17}{5}}i$.

Fin de l'exemple

Équations du second degré

Équation en ${z}^{2}=\alpha ,\alpha \in \mathbb {R}$

Début de l'exemple

Équations : Équations du second degré en ${z}^{2}=\alpha ,\alpha \in \mathbb {R}$

Résoudre dans $\mathbb {C}$: ${z}^{2}=5$ et ${z}^{2}=-8$
${z}^{2}=5$ d'où $z=\pm {\sqrt {5}}$. Les deux solutions sont réelles.
${z}^{2}=-8=(-1)\times 8={i}^{2}\times 8$
d'où $z=\pm i{\sqrt {8}}=\pm 2i{\sqrt {2}}$. Les deux solutions sont imaginaires pures.

Fin de l'exemple

Équations en $\alpha {z}^{2}+\beta z+\gamma =0$

Nous pouvons résoudre des équations simples où $(\alpha ,\beta ,\gamma )\in {\mathbb {R} }^{3}$. Il suffit dans ce cas de calculer le déterminant complexe.

Début de l'exemple

Équations : Équation du second degré en $\alpha {z}^{2}+\beta z+\gamma =0,\,avec\;(\alpha ,\beta ,\gamma )\in {\mathbb {R} }^{3}$

Résoudre dans $\mathbb {C}$: $3{z}^{2}-2z+1=0$. Il suffit de calculer le
discriminant $\Delta$ de l'équation.
$\Delta ={(-2)}^{2}-4\times 3\times 1=4-12=-8={i}^{2}\times 8={(2i{\sqrt {2}})}^{2}$. L'équation admet deux
solutions.
$z={\frac {-(-2)\pm 2i{\sqrt {2}}}{6}}={\frac {1\pm i{\sqrt {2}}}{3}}$

Fin de l'exemple

Nous pouvons aussi résoudre des équations où $(\alpha ,\beta ,\gamma )\in {\mathbb {C} }^{3}$. Seulement, nous avons généralement des informations en plus dans l'énoncé. Soit il faut trouver une solution imaginaire pure ou bien une solution réelle. Dans ce cas là, il faut remplacer $z$.

Début de l'exemple

Équations : Équation du second degré en $\alpha {z}^{2}+\beta z+\gamma =0,\,avec\;(\alpha ,\beta ,\gamma )\in {\mathbb {C} }^{3}$

Trouver une solution imaginaire pure de ${z}^{2}-(1+3i)z-2+2i=0$.
On a donc $z=x+iy$ avec $x=0$ et $y$ un réel. On remplace $z=iy$ dans l'équation.
Soit ${(iy)}^{2}-(1+3i)\times iy-2+2i=0$
On a $-{y}^{2}-iy+3y-2+2i=0$ d'où $-{y}^{2}+3y-2+i(-y+2)=0$
On obtient donc le système. ${\begin{cases}L1:-{y}^{2}+3y-2=0,&{\mbox{la partie r}}\mathrm {\acute {e}} {\mbox{elle}}\\L2:-y+2=0,&{\mbox{la partie imaginaire}}\end{cases}}$
Or ce nombre complexe est nul, ce qui signifie que les parties réelles et imaginaires sont
nulles.
On résout la seconde équation et on remplace dans la première.
${\begin{cases}L1:-{y}^{2}+3y-2=0,-{2}^{2}+3\times 2-2=0\\L2:-y+2=0,y=2\end{cases}}$.
$y=2$ est solution donc l'équation admet le nombre imaginaire pur $z=2i$ comme solution.
Ensuite, nous pouvons résoudre complètement l'équation et trouver la seconde solution
(c'est une équation du second degré, elle admet donc deux solutions).
Il suffit de mettre $z-2i$ en facteur (en utilisant la même technique que pour les
équations réelles).
On a: $P(z)=(z-2i)\times Q(z)$, où $Q(z)$ s'écrit de la forme $(az+b),(a,b)\in {\mathbb {C} }^{2}$.
Par identification, on a $P(z)=a{z}^{2}+z(b-2ai)-2bi$,
d'où ${\begin{cases}L1:a=1\\L2:b-2ai=-1-3i,b=-1-i\\L3:-2bi=2i-2,-2i(-1-i)=2i-2,{\mbox{cette }}\mathrm {\acute {e}} {\mbox{quation est vraie}}\end{cases}}$.
D'où, $Q(z)=z-1-i$, donc $P(z)=(z-2i)(z-(1+i))$
Finalement les deux solutions sont $z_{1}=2i$ et $z_{2}=1+i$.

Fin de l'exemple

Équations particulières du troisième degré

Comme pour les équations réelles du troisième degré, nous ne savons pas résoudre ce type d'équation, pour trouver les solutions, nous devons trouver une solution évidente ou nous devons être guidés. Les solutions évidentes sont toujours très simples, c'est-à-dire $S={-2,-1,0,1,2}$. Si la solution n’est pas assez simple, l'exercice demande de vérifier une solution.

Début de l'exemple

Équations : Équation du troisième degré

Soit l'équation $(E):{z}^{3}-2{z}^{2}-9=0$ et soit la fonction $P(z)={z}^{3}-2{z}^{2}-9$

1. Montrer que $3$ est solution de $(E)$.

$P(3)={3}^{3}-2\times {3}^{2}-9=27-18-9=0$, $3$ est solution de $(E)$,
nous pouvons écrire $P(z)=(z-3)(a{z}^{2}+bz+c)$.

2. Déterminer $Q(z)=a{z}^{2}+bz+c$

Par identification (mais on peut aussi utiliser la division euclidienne de polynômes),
${\begin{matrix}P(z)&=&(z-3)(a{z}^{2}+bz+c)=a{z}^{3}+b{z}^{2}+cz-3a{z}^{2}-3bz-3c\\\ &=&a{z}^{3}+{z}^{2}(b-3a)+z(c-3b)-3c={z}^{3}-2{z}^{2}-9\end{matrix}}$,
d'où ${\begin{cases}L1:a=1\\L4:-3c=-9,c=3\\L2:b-3a=-2,b=-2+3=1\\L3:c-3b=0,3-3=0,{\mbox{cette }}\mathrm {\acute {e}} {\mbox{quation est vraie}}\end{cases}}$
Donc $Q(z)={z}^{2}+z+3$

3. En déduire toutes les solutions de $(E)$

$P(z)=(z-3)({z}^{2}+z+3)=0$ donc $z=3$ ou ${z}^{2}+z+3=0$.
Cette équation est du second degré.
$\Delta =-11={(i{\sqrt {11}})}^{2}$
Donc $z={\frac {-1\pm i{\sqrt {11}}}{2}}$.
Finalement, $S=\left\{3,{\frac {-1+i{\sqrt {11}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {11}}}{2}}\right\}$

Fin de l'exemple