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Calcul différentiel/Sous-variétés de ℝn », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
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Calcul différentiel : Sous-variétés de Rn
Calcul différentiel/Sous-variétés de Rn », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
avec
,
et k ≥ 1.
Début d’un théorème
Théorème-définition
On dit que
est une sous-variété de ℝn de classe Ck et de dimension
(donc de codimension
) si pour tout
,
est, au point
, une sous-variété de ℝn de classe Ck et de dimension
, c'est-à-dire si l'une des 4 conditions (équivalentes) suivantes est satisfaite.
- (Difféo local) Il existe un voisinage
de
dans
, un voisinage
d'un point
dans
, et une application Ck,
(ou :
), telle que
et
(ou :
et
) ;
(ou :
).
- (Submersion) Il existe un voisinage
de
dans
et une application Ck,
, telle que
est surjective (ou :
sont linéairement indépendantes dans
) ;
- en posant
, on a
.
- (Graphe) Pour une certaine décomposition de
sous la forme
, il existe un voisinage
de
dans
, un voisinage
de
dans
, et une application Ck,
, telle que
.
- (Immersion) Il existe un voisinage
de
dans
, un voisinage
d'un point
dans
, et une application Ck,
telle que
et
est injective ;
.
(Variantes : 1bis :
; 2bis :
; 4bis :
).
Fin du théorème
En fait tout ceci resterait vrai pour des espaces de Banach de dimension infinie, à condition de remplacer, dans la condition (2), « surjective » par « admet un inverse à droite dans
», et dans la condition (4), « injective » par « admet un inverse à gauche dans
».
Preuve des équivalences
en posant
, où
est la projection naturelle.
en choisissant une décomposition
de telle sorte que
, puis en appliquant le théorème des fonctions implicites à l'équation
avec
.
en posant
.
en choisissant une décomposition
de telle sorte que
vérifie
, puis en posant
.
Espace tangent
.
Donc si
est une sous-variété en
alors
est un sous-espace vectoriel (de
) isomorphe à
, et on l'appelle l'espace vectoriel tangent à
en
(par opposition à l'espace affine tangent, qui est
).