Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable moyen
Les changements de variable présentés dans cette page demandent de la réflexion mais ne devraient pas poser trop de problème.
Exercice 3-1
modifierCalculer :
- .
Posons :
- .
On obtient alors :
- .
Posons alors :
- .
Nous obtenons :
Nous pouvons conclure que :
. |
Exercice 3-2
modifierCalculer :
- .
Nous sommes dans le « cas hybride » des règles de Bioche, où les trois changements de variable y = cos x, y = sin x et t = tan x sont fructueux mais où un changement plus intéressant est u = cos(2x).
Pour mettre en forme ce changement de variable, remarquons que
- .
En posant u = cos(2x), on obtient donc :
Exercice 3-3
modifierCalculer :
- .
a) En posant , nous avons donc et
b) avec donc posons
- .
- .
Posons enfin .
- .
Finalement,
- .
Exercice 3-4
modifierCalculer :
- .
a) Pour , donc .
Par conséquent,
- .
b) L'intégration du a) n'ayant pas posé de problème, nous allons faire un changement de variable pour avoir un dénominateur identique au a). Pour cela, nous posons :
- .
Nous obtenons :
- ;
donc (par imparité de )
- .
Exercice 3-5
modifierCalculer :
- .
a) Posons :
- .
On a donc :
b) Posons :
- .
On a donc :
Exercice 3-6
modifier- Soit la fonction . Montrer que est une bijection de sur un intervalle que l'on précisera.
- Faire la division euclidienne de par .
- Montrer que est équivalent à .
- Faire le changement de variable dans l'intégrale .
Montrer que , pour une fraction rationnelle que l'on précisera. - Faire la décomposition en éléments simples dans de la fraction rationnelle de la question précédente et calculer .
- donc est continue strictement croissante (et donc bijective) de sur , avec et .
- .
- est (continue et strictement croissante donc) bijective de sur , et si alors et .
- .
- donc .