Cinématique (Expert)/Exercices/Matrice de passage, vecteur déplacement

Matrice de passage, vecteur déplacement
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Exercices no1
Leçon : Cinématique
Chapitre du cours : Géométrie des systèmes mécaniques

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Torseur des petits déplacements
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Matrice de passage : angles d'EulerModifier

Soit un repère   à positionner par rapport à un repère  .

Nous définissions le vecteur nodal   perpendiculaire au plan défini par les vecteurs   et  , d'où  


Une première rotation d'angle   (psi) mesuré positivement autour de  , nommé précession, permet de passer du repère   au repère  .

Une rotation d'angle   (theta) mesuré positivement autour de  , appelée nutation, permet de passer du repère   au repère  .

Enfin, une rotation d'angle   (phi) mesuré positivement autour de  , la rotation propre, permet d'atteindre le repère  

Activité 1Modifier

Déterminer les matrices de passage de chaque rotation élémentaire.

Activité 2Modifier

Déterminer la matrice de passage (générale).

Activité 3Modifier

En utilisant les résultats obtenus au cours de l'activité 2, déterminer la matrice de inverse.   est-elle une matice rotation ?

Déplacement d'un point d'un solideModifier

On associe au solide 0 un repère. Le solide 0 est considéré comme solide de référence.

Un solide 3 muni d'un repère   se déplace dans l'espace par rapport au solide de référence.

À l'instant initial de l'étude  , les deux repères   et   sont coïncidents.

On considère un point A appartenant au solide 3 tel que :  

Activité 4Modifier

Le solide se déplace d'une translation tel qu’à l'instant   :  

Il subit une rotation propre autour de l’axe   caractérisée par  . À l'instant  .

Déterminer le vecteur déplacement  .

Activité 5Modifier

Nous observons un déplacement tel que qu’à l'instant   :  

Il subit trois rotations telles qu’à l'instant   :  

Déterminer le vecteur déplacement  .