Cinématique (Expert)/Exercices/Matrice de passage, vecteur déplacement

Matrice de passage : angles d'Euler

Soit un repère ${\mathfrak {R}}_{3}(O,{\vec {x}}_{3},{\vec {y}}_{3},{\vec {z}}_{3})$ à positionner par rapport à un repère ${\mathfrak {R}}_{0}(O,{\vec {x}}_{0},{\vec {y}}_{0},{\vec {z}}_{0})$.

Nous définissions le vecteur nodal ${\vec {n}}$ perpendiculaire au plan défini par les vecteurs ${\vec {z}}_{0}$ et ${\vec {z}}_{3}$, d'où ${\vec {n}}={\frac {{\vec {z}}_{0}\land {\vec {z}}_{3}}{\|{\vec {z}}_{0}\land {\vec {z}}_{3}\|}}$

Une première rotation d'angle $\psi$ (psi) mesuré positivement autour de ${\vec {z}}_{0}$, nommé précession, permet de passer du repère ${\mathfrak {R}}_{0}(O,{\vec {x}}_{0},{\vec {y}}_{0},{\vec {z}}_{0})$ au repère ${\mathfrak {R}}_{1}(O,{\vec {n}},{\vec {v}},{\vec {z}}_{0})$.

Une rotation d'angle $\theta$ (theta) mesuré positivement autour de ${\vec {n}}$, appelée nutation, permet de passer du repère ${\mathfrak {R}}_{1}(O,{\vec {n}},{\vec {v}},{\vec {z}}_{0})$ au repère ${\mathfrak {R}}_{2}(O,{\vec {n}},{\vec {w}},{\vec {z}}_{3})$.

Enfin, une rotation d'angle $\varphi$ (phi) mesuré positivement autour de ${\vec {z}}_{3}$, la rotation propre, permet d'atteindre le repère ${\mathfrak {R}}_{3}(O,{\vec {x}}_{3},{\vec {y}}_{3},{\vec {z}}_{3})$

Activité 1

Déterminer les matrices de passage de chaque rotation élémentaire.

Solution

${\mathfrak {R}}_{0}(O,{\vec {x}}_{0},{\vec {y}}_{0},{\vec {z}}_{0})$

${\mathfrak {R}}_{1}(O,{\vec {n}},{\vec {v}},{\vec {z}}_{0})$ → $\psi$ angle de précession

${\mathfrak {R}}_{2}(O,{\vec {n}},{\vec {w}},{\vec {z}}_{3})$ → $\theta$ angle de nutation

${\mathfrak {R}}_{3}(O,{\vec {x}}_{3},{\vec {y}}_{3},{\vec {z}}_{3})$ → $\varphi$ angle de rotation propre

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• Solution pour $\psi$ angle de précession : $\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}$

La matrice de passage associé à cette rotation est : $\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}={\begin{bmatrix}cos\psi &-sin\psi &0\\sin\psi &cos\psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

${\vec {i}}_{0}\ {\vec {j}}_{0}\ {\vec {k}}_{0}$ sont les vecteurs unitaires respectif de ${\vec {x}}_{0}\ {\vec {y}}_{0}\ {\vec {z}}_{0}$

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• Solution pour $\theta$ angle de nutation : $\mathbb {P} _{[R_{1}\rightarrow R_{2}]}$

La matrice de passage associé à cette rotation est : $\mathbb {P} _{[R_{1}\rightarrow R_{2}]}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&cos\theta &-sin\theta \\0&sin\theta &cos\theta \end{bmatrix}}$

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• Solution pour $\varphi$ angle de rotation propre : $\mathbb {P} _{[R_{2}\rightarrow R_{3}]}$

La matrice de passage associé à cette rotation est : $\mathbb {P} _{[R_{2}\rightarrow R_{3}]}={\begin{bmatrix}cos\varphi &-sin\varphi &0\\sin\varphi &cos\varphi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

 

Activité 2

Déterminer la matrice de passage (générale).

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Activité 3

En utilisant les résultats obtenus au cours de l'activité 2, déterminer la matrice de inverse. $\mathbb {P} _{(3\rightarrow 0)}$ est-elle une matice rotation ?

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Déplacement d'un point d'un solide

On associe au solide 0 un repère. Le solide 0 est considéré comme solide de référence.

Un solide 3 muni d'un repère ${\mathfrak {R}}_{3}(O,{\vec {x}}_{3},{\vec {y}}_{3},{\vec {z}}_{3})$ se déplace dans l'espace par rapport au solide de référence.

À l'instant initial de l'étude $t_{0}$, les deux repères ${\mathfrak {R_{0}}}$ et ${\mathfrak {R_{3}}}$ sont coïncidents.

On considère un point A appartenant au solide 3 tel que : ${\overrightarrow {O_{3}A}}=-2{\vec {i}}_{3}+7{\vec {j}}_{3}+10{\vec {k}}_{3}$

Activité 4

Le solide se déplace d'une translation tel qu’à l'instant $t_{1}$ : ${\overrightarrow {OO_{3}}}=10{\vec {i}}_{0}+5{\vec {j}}_{0}-2{\vec {k}}_{0}$

Il subit une rotation propre autour de l’axe ${\vec {z}}_{0}$ caractérisée par $\varphi$. À l'instant $t_{1}\ \varphi =30^{\circ }$.

Déterminer le vecteur déplacement ${\overrightarrow {D(A)}}$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Activité 5

Nous observons un déplacement tel que qu’à l'instant $t_{1}$ : ${\overrightarrow {OO_{3}}}=2{\vec {i}}_{0}-1{\vec {j}}_{0}+3{\vec {k}}_{0}$

Il subit trois rotations telles qu’à l'instant $t_{1}$ : $\varphi =45^{\circ }\qquad \theta =60^{\circ }\qquad \psi =30^{\circ }$

Déterminer le vecteur déplacement ${\overrightarrow {D(A)}}$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}