Cinématique (Expert)/Géométrie des systèmes mécaniques

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Problème fondamentalModifier

Dans un problème de mécanique, on a souvent besoin de trouver :

  • Le positionnement d'un solide par rapport au solide de référence.
  • Le positionnement d'un solide S par rapport à un autre solide, car les deux solides appartiennent au système mécanique étudié.
  • Le positionnement d'un centre de liaison et de son axe de direction.

Mise en situationModifier

   

On connait la position du point A au sein d'un solide S₁ (elle ne change pas au cours du temps) :

 

On souhaite savoir la position du point A par rapport au repère de référence R₀ de centre O :

 

Pour parvenir à exprimer le vecteur  , on va utiliser la relation de Chasles :

 

Outil mathématique : changement de baseModifier

Liberté entre deux solides :

  • 3 translations
  • 3 rotations

Le problème du changement de base intervient lors de rotations entre différentes bases (systèmes d'axes).


Déplacement d'un solide (cas général)Modifier

Déplacement d'un point d'un solideModifier

À l'instant   (t₀), nous observons un solide S₁ muni d'un repère   qui à cet instant coïncide avec le repère de référence  .

On considère un point   et on observe le déplacement de ce point vers le point   (déplacement du point A entre l'instant   et  ).

Le déplacement du point A appartenant au solide S₁ entre les instants   et   est défini par le vecteur :

 
 
 

Début d’un théorème
Fin du théorème


Position du point A à l'instant  Modifier

La position du point A à l'instant   nous pose un problème lorsqu'on utilise la relation de Chasles :

 

On peut remarquer que dans l'équation écrite un peu plus haut, on veut soustraire deux vecteurs appartenant à des bases différentes (  et  ). Pour pouvoir utiliser l'opérateur soustraction entre deux vecteurs, il faut que ces deux vecteurs soient écrits dans la même base.

Pour résoudre ce problème on devra utiliser la matrice de passage entre   et   :


On peut appliquer cette définition à notre vecteur   pour le faire passer de   à   :

 

Formule générale du déplacement du point AModifier

On peut maintenant réécrire l’expression générale du déplacement du point A.


Je n'ai pas spécifié les repères de chaque vecteur car on a fait attention qu’ils appartiennent tous au repère  . On peut maintenant développer les vecteurs par leur coordonnées cartésiens, on a :

 

Les deux repères sont coïncidents pour  .

 

On peut maintenant remplacer les vecteurs par leurs composantes :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁Modifier

Considérons un point C tel que :

 

Si nous appliquons la relation générale du déplacement, le vecteur   s'écrit :

 

Pour déterminer la relation qui existe entre les déplacements de deux points d'un solide, nous observons la différence des déplacements.


 

En écriture matricielle :

 

On a noté 1 la matrice identité:  

Dans ce cas, on a :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Déplacement d'un solide (système mécanique plan)Modifier

ParamétrageModifier

La position du solide à l'instant  :

 

La position angulaire est donnée par l'angle  :

 


Matrice rotationModifier

Dans le cas d'un système plan, il est intéressant de donner les formules ci-dessus en fonction de la matrice rotation :


Déplacement d'un point A d'un solideModifier

 

 

  • x et y sont les coordonnées de  
  •  
Début d’un théorème
Fin du théorème


Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁Modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Approximation des petits déplacementsModifier

  • Surtout valable pour de petites rotations.
  • Étude dans le cas d'un problème plan puis généralisation.

Présentation du problèmeModifier

Nous considérons une rotation   autour de l’axe  , nous avons la configuration d'un problème plan. En considérant deux point A et C, nous avons observé :

 

Supposons que le déplacement   soit un petit déplacement que nous noterons   . En conséquence, nous avons deux petits déplacements   et   :

 

On rappelle le développement limité d'une fonction de x, pour x autour de 0 :

 

En utilisant cette formule pour les fonctions sinus et cosinus, on obtient :

 

 

Si on approche aux dérivées de 1er ordre, on retrouve ainsi :

 

 

On a donc :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Torseur des petits déplacementsModifier

  Voir les exercices sur : Matrice de passage, vecteur déplacement.



  Voir les exercices sur : Torseur des petits déplacements.



Soit un vecteur  . On peut associer à ce vecteur une matrice :  .

Posons maintenant un vecteur de petite rotation :  

Sa matrice associée est :

 

En utilisant les nouvelles notations, on peut écrire :

 

 

Nous sommes en présence d'un torseur de petit déplacement :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Pour appliquer les notions vues dans ce cours, il est vivement conseillé de vous entraîner sur les exercices proposés.