Cinématique (Expert)/Géométrie des systèmes mécaniques

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Problème fondamental

Dans un problème de mécanique, on a souvent besoin de trouver :

• Le positionnement d'un solide par rapport au solide de référence.
• Le positionnement d'un solide S par rapport à un autre solide, car les deux solides appartiennent au système mécanique étudié.
• Le positionnement d'un centre de liaison et de son axe de direction.

Mise en situation

On connait la position du point A au sein d'un solide S₁ (elle ne change pas au cours du temps) :

${\overrightarrow {O_{1}A}}=x_{1}{\vec {i}}_{1}+y_{1}{\vec {j}}_{1}+z_{1}{\vec {k}}_{1}$

On souhaite savoir la position du point A par rapport au repère de référence R₀ de centre O :

${\overrightarrow {OA}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}$

Pour parvenir à exprimer le vecteur ${\overrightarrow {OA}}$, on va utiliser la relation de Chasles :

${\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {OO_{1}}}+{\overrightarrow {O_{1}A}}$

Outil mathématique : changement de base

Liberté entre deux solides :

• 3 translations
• 3 rotations

Le problème du changement de base intervient lors de rotations entre différentes bases (systèmes d'axes).

Exemple et définition

Rotation d'angle $\theta$ autour de l’axe ${\vec {x}}_{0}$.

Rotation de $\theta$ autour de l’axe ${\vec {x}}$

Il est possible de définir les vecteurs de la base 1 dans la base 0. Pour cela il faut utiliser la trigonométrie.

${\begin{cases}{\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{0}\\{\vec {y}}_{1}=\cos \theta {\vec {y}}_{0}+\sin \theta {\vec {z}}_{0}\\{\vec {z}}_{1}=-\sin \theta {\vec {y}}_{0}+\cos \theta {\vec {z}}_{0}\end{cases}}$

Cette écriture en équation peut être reprise sous forme de matrice.

$\Longrightarrow \mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta \\0&-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

On l'appelle matrice rotation autour de ${\vec {x}}$.

Il s'agit d'une matrice orthogonale, ce qui a deux conséquences importantes :

• on a toujours $\mathrm {det} \,\mathbb {P} =1$ ;
• la matrice inverse est sa transposée : $\mathbb {P} _{[R_{1}\rightarrow R_{0}]}=\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}^{-1}=\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}^{t}$

Déplacement d'un solide (cas général)

Déplacement d'un point d'un solide

À l'instant $t=0$ (t₀), nous observons un solide S₁ muni d'un repère $R_{1}(O_{1},{\vec {x_{1}}},{\vec {y_{1}}},{\vec {z_{1}}})$ qui à cet instant coïncide avec le repère de référence $R_{0}(O_{0},{\vec {x_{0}}},{\vec {y_{0}}},{\vec {z_{0}}})$.

On considère un point $A(t_{0})$ et on observe le déplacement de ce point vers le point $A(t_{1})$ (déplacement du point A entre l'instant $(t_{0})$ et $(t_{1})$).

Le déplacement du point A appartenant au solide S₁ entre les instants $t_{0}$ et $t_{1}$ est défini par le vecteur :

${\overrightarrow {D(A)}}={\overrightarrow {A_{(t_{0})}A_{(t_{1})}}}$
${\overrightarrow {D(A)}}={\overrightarrow {A_{(t_{0})}O}}+{\overrightarrow {OA_{(t_{1})}}}$
${\overrightarrow {D(A)}}=-{\overrightarrow {OA_{(t_{0})}}}+{\overrightarrow {OA_{(t_{1})}}}$

Début d’un théorème

Bilan

Pour connaître le déplacement du point A, il suffit de connaître :

• la position du point A à l'instant $(t_{0})$ (le plus souvent une donnée du problème) ;
• la position du point A à l'instant $(t_{1})$ (la partie qu'on va développer par la suite).

Fin du théorème

Position du point A à l'instant $(t_{1})$

La position du point A à l'instant $(t_{1})$ nous pose un problème lorsqu'on utilise la relation de Chasles :

${\overrightarrow {OA_{(t_{1})}}}{\Big |}_{R_{0}}={\overrightarrow {O{O_{1}}_{(t_{1})}}}{\Big |}_{R_{0}}+{\overrightarrow {O_{1}A_{(t_{1})}}}{\Big |}_{R_{1}}$

On peut remarquer que dans l'équation écrite un peu plus haut, on veut soustraire deux vecteurs appartenant à des bases différentes ($R_{0}$ et $R_{1}$). Pour pouvoir utiliser l'opérateur soustraction entre deux vecteurs, il faut que ces deux vecteurs soient écrits dans la même base.

Pour résoudre ce problème on devra utiliser la matrice de passage entre $R_{0}$ et $R_{1}$ :

Définition

Soit un vecteur quelconque ${\overrightarrow {V}}$. On peut écrire que son image dans le repère $R_{0}$ est donnée par la relation suivante : ${\overrightarrow {V}}{\Big |}_{R_{0}}=\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}\ {\overrightarrow {V}}{\Big |}_{R_{1}}$

On peut appliquer cette définition à notre vecteur ${\overrightarrow {O_{1}A_{(t_{1})}}}$ pour le faire passer de $R_{1}$ à $R_{0}$ :

${\overrightarrow {O_{1}A_{(t_{1})}}}{\Big |}_{R_{0}}=\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}\ {\overrightarrow {O_{1}A_{(t_{1})}}}{\Big |}_{R_{1}}$

Formule générale du déplacement du point A

On peut maintenant réécrire l’expression générale du déplacement du point A.

Définition

${\overrightarrow {D(A)}}=\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}\ {\overrightarrow {O_{1}A_{(t_{1})}}}-{\overrightarrow {OA_{(t_{0})}}}+{\overrightarrow {O{O_{1}}_{(t_{1})}}}$

Je n'ai pas spécifié les repères de chaque vecteur car on a fait attention qu’ils appartiennent tous au repère $R_{0}$. On peut maintenant développer les vecteurs par leur coordonnées cartésiens, on a :

${\overrightarrow {OA_{(t_{0})}}}={\begin{pmatrix}x_{a}\\y_{a}\\z_{a}\end{pmatrix}}_{\!\!\!\!R_{0}}={\overrightarrow {{O_{1}}A_{(t_{1})}}}={\begin{pmatrix}x_{a}\\y_{a}\\z_{a}\end{pmatrix}}_{\!\!\!\!R_{1}}$

Les deux repères sont coïncidents pour $t=0$.

${\overrightarrow {O{O_{1}}_{(t_{1})}}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{\!\!\!\!R_{0}}$

On peut maintenant remplacer les vecteurs par leurs composantes :

Début d’un théorème

Formule générale

${\overrightarrow {D(A)}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}\ {\begin{pmatrix}x_{a}\\y_{a}\\z_{a}\end{pmatrix}}\ -{\begin{pmatrix}x_{a}\\y_{a}\\z_{a}\end{pmatrix}}$

Fin du théorème

Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁

Considérons un point C tel que :

${\overrightarrow {O_{1}C_{t_{1}}}}=x_{c}{\overrightarrow {i_{1}}}+y_{c}{\overrightarrow {j_{1}}}+z_{c}{\overrightarrow {k_{1}}}$

Si nous appliquons la relation générale du déplacement, le vecteur ${\overrightarrow {D(C)}}|_{R_{0}}$ s'écrit :

${\overrightarrow {D(C)}}={\begin{pmatrix}x-x_{c}\\y-y_{c}\\z-z_{c}\end{pmatrix}}+\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}\times {\begin{pmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\end{pmatrix}}$

Pour déterminer la relation qui existe entre les déplacements de deux points d'un solide, nous observons la différence des déplacements.

${\overrightarrow {D(C)}}-{\overrightarrow {D(A)}}]|_{R_{0}}={\begin{pmatrix}x_{a}-x_{c}\\y_{a}-y_{c}\\z_{a}-z_{c}\end{pmatrix}}+\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}\times {\begin{pmatrix}x_{c}-x_{a}\\y_{c}-y_{a}\\z_{c}-z_{a}\end{pmatrix}}$

En écriture matricielle :

${\overrightarrow {D(C)}}-{\overrightarrow {D(A)}}|_{R_{0}}=[\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}-1]\times {\begin{pmatrix}x_{c}-x_{a}\\y_{c}-y_{a}\\z_{c}-z_{a}\end{pmatrix}}$

On a noté 1 la matrice identité: $1={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Dans ce cas, on a :

Début d’un théorème

Relation entre les déplacements

$[\mathbb {P} _{[R_{0}\rightarrow R_{1}]}-1]={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\cos \theta -1&\sin \theta -1\\0&-\sin \theta -1&\cos \theta -1\end{pmatrix}}$

Avec $x_{c},y_{c},z_{c}$ et $x_{a},y_{a},z_{a}$ les coordonnées respectives du point C et du point A, exprimées dans le repère lié au solide S₁ ($R_{1}$).

Fin du théorème

Déplacement d'un solide (système mécanique plan)

Paramétrage

La position du solide à l'instant $t_{1}$:

${\overrightarrow {OO_{1}}}|_{R_{0}}=x{\overrightarrow {i_{0}}}+y{\overrightarrow {j_{0}}}$

La position angulaire est donnée par l'angle $\theta$:

$\theta =({\overrightarrow {x_{0}}},{\overrightarrow {x_{1}}}){\vec {z}}$

Remarque

Les variables x et y constituent deux paramètres, $\theta$ étant le troisième.

Matrice rotation

Dans le cas d'un système plan, il est intéressant de donner les formules ci-dessus en fonction de la matrice rotation :

Rappel

$\mathbb {P} _{[0\rightarrow 1]}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Dans le plan, la matrice peut s'écrire :

$\mathbb {P} _{[0\rightarrow 1]}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

Déplacement d'un point A d'un solide

${\overrightarrow {O_{1}A_{(t_{0})}}}=x_{a}{\overrightarrow {i_{1}}}+y_{a}{\overrightarrow {j_{1}}}$

${\overrightarrow {O_{0}A_{(t_{1})}}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+\mathbb {P} _{[0\rightarrow 1]}\times {\begin{pmatrix}x_{a}\\y_{a}\end{pmatrix}}$

• x et y sont les coordonnées de $O_{1}$
• ${\overrightarrow {O_{1}A_{t_{1}}}}={\overrightarrow {O_{1}A_{t_{0}}}}$

Début d’un théorème

Déplacement d'un point

${\overrightarrow {D(A)}}={\begin{pmatrix}x-x_{a}\\y-y_{a}\end{pmatrix}}+\mathbb {P} _{[0\rightarrow 1]}\times {\begin{pmatrix}x_{a}\\y_{a}\end{pmatrix}}$

Fin du théorème

Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁

Début d’un théorème

Relation entre les déplacements de deux points

${\overrightarrow {D(C)}}-{\overrightarrow {D(A)}}|_{R_{0}}=[\mathbb {P} _{[0\rightarrow 1]}-1]\times {\begin{pmatrix}x_{c}-x_{a}\\y_{c}-y_{a}\end{pmatrix}}$

Avec $x_{c},y_{c}$ et $x_{a},y_{a}$ les coordonnées respectives du point C et du point A, exprimées dans le repère lié au solide ₁ ($R_{1}$).

Fin du théorème

Approximation des petits déplacements

• Surtout valable pour de petites rotations.
• Étude dans le cas d'un problème plan puis généralisation.

Présentation du problème

Nous considérons une rotation $\theta$ autour de l’axe ${\vec {z}}$, nous avons la configuration d'un problème plan. En considérant deux point A et C, nous avons observé :

${\overrightarrow {D(C)}}-{\overrightarrow {D(A)}}|_{R_{0}}={\begin{pmatrix}\cos \theta -1&-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta -1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{c}-x_{a}\\y_{c}-y_{a}\end{pmatrix}}$

Supposons que le déplacement $\theta$ soit un petit déplacement que nous noterons $\delta \theta$ . En conséquence, nous avons deux petits déplacements ${\overrightarrow {\delta A}}$ et ${\overrightarrow {\delta C}}$ :

${\overrightarrow {\delta C}}-{\overrightarrow {\delta A}}={\begin{pmatrix}\cos \delta \theta -1&-\sin \delta \theta \\\sin \delta \theta &\cos \delta \theta -1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{c}-x_{a}\\y_{c}-y_{a}\end{pmatrix}}$

On rappelle le développement limité d'une fonction de x, pour x autour de 0 :

$f(x)=f(0)+xf'(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}f''(0)+{\frac {x^{3}}{3!}}f'''(0)+\ldots$

En utilisant cette formule pour les fonctions sinus et cosinus, on obtient :

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}\Longrightarrow \sin \delta x=\delta x-{\frac {\delta x^{3}}{3!}}$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}\Longrightarrow \cos \delta x=1-{\frac {\delta x^{2}}{2!}}$

Si on approche aux dérivées de 1^er ordre, on retrouve ainsi :

$\sin \delta \theta \approx \delta \theta \,$

$\cos \delta \theta \approx 1\,$

On a donc :

Début d’un théorème

Approximation des petits déplacements

${\overrightarrow {\delta C}}-{\overrightarrow {\delta A}}={\begin{pmatrix}0&-\delta \theta \\\delta \theta &0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{c}-x_{a}\\y_{c}-y_{a}\end{pmatrix}}$

Fin du théorème

Torseur des petits déplacements

Faites ces exercices : Matrice de passage, vecteur déplacement.

Faites ces exercices : Torseur des petits déplacements.

Soit un vecteur ${\vec {V}}~{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$. On peut associer à ce vecteur une matrice : ${\begin{pmatrix}0&-z&y\\z&0&x\\-y&x&0\end{pmatrix}}$.

Posons maintenant un vecteur de petite rotation : ${\overrightarrow {\delta \theta _{(1/0)}}}=\delta \theta {\vec {z}}$

Sa matrice associée est :

${\begin{pmatrix}0&-\delta \theta \\\delta \theta &0\end{pmatrix}}$

En utilisant les nouvelles notations, on peut écrire :

${\overrightarrow {\delta C}}-{\overrightarrow {\delta A}}={\overrightarrow {\delta \theta _{(1/0)}}}\wedge {\overrightarrow {AC}}$

${\overrightarrow {\delta C}}={\overrightarrow {\delta A}}+{\overrightarrow {AC}}\wedge {\overrightarrow {\delta \theta _{(1/0)}}}$

Nous sommes en présence d'un torseur de petit déplacement :

Début d’un théorème

Torseur des petits déplacements

${\begin{Bmatrix}\delta _{(1/0)}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\delta \theta _{(1/0)}}}\\{\overrightarrow {\delta A_{(1/0)}}}\end{Bmatrix}}$

Fin du théorème

Pour appliquer les notions vues dans ce cours, il est vivement conseillé de vous entraîner sur les exercices proposés.