Combinatoire/Annexe/Rappel sur la théorie des ensembles

Cette annexe, initialisée en 2014 puis laissée à l'abandon, avait pour but de résumer les notions de théorie des ensembles utiles à ce cours. Elle était censée contenir des rappels donc n'était pas prévue pour un premier contact avec la matière. Nous devions nous y concentrer sur ce qui est utilisé dans le reste de ce cours, et donc sur les ensembles finis.

Pour des cours plus avancés et/ou plus complets sur le sujet, voir les cours du département Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques, en particulier le cours Ensemble (mathématiques).

Notions de base

Ensembles

On peut considérer un ensemble comme une collection d'objets. Ces objets peuvent en théorie être n’importe quoi:

• Des personnes (une classe d'école, une famille).
• Des "vrais" objets.
• Des nombres (par exemple l’ensemble des nombres naturels ou des nombres réels).
• Des objets géométriques (une droite peut-être vu comme un ensemble de points).
• Des ensembles.
• Des objets mathématiques plus complexes (ensemble de fonctions par exemple)

Cardinal d'un ensemble

Parmi ces ensembles, certains sont finis, d'autres sont infinis. Par exemple, l’ensemble des nombres entiers (ou naturels, ou rationnels, ou réels) est infini.

Pour les ensembles finis, il est possible de définir le nombre d'éléments de ces ensembles. On appelle ce nombre le cardinal d'un ensemble. (On peut élargir cette notion aux ensembles infinis mais ce n’est pas le propos ici).

Relations

Applications et fonctions

Voir Application (mathématiques)/Définitions.

Injections, surjections, bijections

Voir Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection.