Complexes et géométrie/Devoir/Un problème de géométrie
Soient les points d'affixes respectives :
- ;
- ;
- .
1° Calculer l'affixe du point image de par la rotation de centre (d'affixe ) et d'angle .
2° Représenter les points dans le plan complexe dont un repère orthonormé direct est . Faire le dessin.
3° Soit le triangle .
- a) Calculer l'angle défini par le couple de vecteurs .
- b) Déterminer la nature du triangle .
- c) Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle.
4. Soit la rotation de centre et d'angle .
- a) Quelles sont les images des points par ?
- b) Quelle est l’image directe de par ?
- c) Déterminer l'image réciproque de par .
Corrigé
1° On a .
2° (En attente de graphique)
3° :a) ,
- c'est-à-dire que l'angle défini par le couple de vecteurs est et que .
- b) Le triangle est donc équilatéral.
- c) Par conséquent, le centre de son cercle circonscrit est son centre de gravité (on rappelle que les droites remarquables (médianes, médiatrices…) sont confondues).
- L'affixe de est donc .
- Le rayon du cercle circonscrit est .
4° a) fixe son centre et (d'après les questions 3.a et 3.b) envoie sur , donc et .
- On peut remarquer que l’image du triangle équilatéral par la rotation reste un triangle équilatéral.
- b) L'image d’un cercle par une rotation est un cercle de même rayon. L’image de par la rotation est donc le cercle de rayon et de centre le point d'affixe
- , ou plus simplement : .
- c) L’image réciproque de par est égale à son image directe par , c'est-à-dire le cercle de rayon et de centre le point d'affixe
- .