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Exercice : Suite de pointsComplexes et géométrie/Exercices/Suite de points », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans le plan complexe P {\displaystyle P} muni d'un repère orthonormal ( O ; e 1 → , e 2 → ) {\displaystyle (O;{\vec {e_{1}}},\,{\vec {e_{2}}})} , l'unité graphique étant 4 cm , on définit l'application f {\displaystyle f} qui au point d'affixe z {\displaystyle z} associe le point d'affixe
z ′ = − j z + i {\displaystyle z'=-\mathrm {j} z+\mathrm {i} } , où j = e i 2 π 3 {\displaystyle \mathrm {j} =\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2\pi }{3}}}} .1° Montrez que f {\displaystyle f} admet exactement un point invariant Ω {\displaystyle \Omega } , dont vous donnerez l’affixe. Caractérisez géométriquement f {\displaystyle f} .
2° On définit dans P {\displaystyle P} la suite ( M n ) n ∈ N {\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} }} par :
{ M 0 = 0 ∀ n ∈ N M n + 1 = f ( M n ) {\displaystyle {\begin{cases}M_{0}=0\\\forall n\in \mathbb {N} \quad M_{n+1}=f(M_{n})\end{cases}}}
a) Construisez Ω {\displaystyle \Omega } , M 0 {\displaystyle M_{0}} , M 1 {\displaystyle M_{1}} et M 2 {\displaystyle M_{2}} .
b) Pour tout entier n {\displaystyle n} , on note z n {\displaystyle z_{n}} l'affixe de M n {\displaystyle M_{n}} et l'on pose :
Z n = z n − e i π 6 {\displaystyle Z_{n}=z_{n}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{6}}}} .
Déterminez un nombre complexe a {\displaystyle a} tel que, pour tout entier n {\displaystyle n} , Z n + 1 = a Z n {\displaystyle Z_{n+1}=aZ_{n}} .
Mettez a {\displaystyle a} sous forme trigonométrique et déterminez un entier p {\displaystyle p} strictement positif tel que a p = 1 {\displaystyle a^{p}=1} .
c) Calculez Z n {\displaystyle Z_{n}} puis z n {\displaystyle z_{n}} en fonction de n {\displaystyle n} . Calculez z 2017 {\displaystyle z_{2017}} et placez M 2017 {\displaystyle M_{2017}} sur le dessin.
Le plan complexe P {\displaystyle P} est muni d'un repère orthonormal ( O ; u → , v → ) {\displaystyle (O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})} .
1° Soit T {\displaystyle T} la transformation du plan qui, à tout point d'affixe z {\displaystyle z} , associe le point d'affixe z ′ = 1 2 z ¯ {\displaystyle z'={\frac {1}{2}}{\bar {z}}}
a) Montrez que T {\displaystyle T} est la composée de deux transformations simples (une homothétie h {\displaystyle h} et une réflexion s {\displaystyle s} ) que l'on précisera.
b) Quelle est la nature de T ∘ T {\displaystyle T\circ T} ?2° On considère la suite de points ( M n ) {\displaystyle (M_{n})} d'affixes respectives ( z n ) {\displaystyle (z_{n})} où :
{ z 0 = 1 + i ∀ n ∈ N ∗ z n = 1 2 z n − 1 ¯ . {\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=1+\mathrm {i} \\\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad z_{n}={\frac {1}{2}}{\overline {z_{n-1}}}.\end{cases}}}
a) Faites une figure (unité 4 cm ), et placez-y M 0 {\displaystyle M_{0}} , M 1 {\displaystyle M_{1}} , M 2 {\displaystyle M_{2}} et M 3 {\displaystyle M_{3}} .
b) Exprimez, en fonction de n {\displaystyle n} , z n {\displaystyle z_{n}} et les coordonnées ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{n},y_{n})} du point M n {\displaystyle M_{n}} .
c) Calculez lim n → ∞ | z n | {\displaystyle \lim _{n\to \infty }|z_{n}|} . Le point M n {\displaystyle M_{n}} a-t-il une position limite quand n {\displaystyle n} tend vers + ∞ {\displaystyle +\infty } ?
Solution
1° a) T = h ∘ s = s ∘ h {\displaystyle T=h\circ s=s\circ h} où h {\displaystyle h} est l'homothétie de centre O {\displaystyle O} et de rapport 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} et s {\displaystyle s} est la réflexion par rapport à l'axe des abscisses.
b) T ∘ T = h ∘ s 2 ∘ h = h ∘ i d P ∘ h = h 2 {\displaystyle T\circ T=h\circ s^{2}\circ h=h\circ \mathrm {id} _{P}\circ h=h^{2}} est l'homothétie de rapport 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} .2° a)
b) Si n {\displaystyle n} est pair, T n = h n {\displaystyle T^{n}=h^{n}} d'après la question 1°b donc z n = 1 + i 2 n {\displaystyle z_{n}={\frac {1+\mathrm {i} }{2^{n}}}} et ( x n , y n ) = 1 2 n ( 1 , 1 ) {\displaystyle (x_{n},y_{n})={\frac {1}{2^{n}}}(1,1)} . Donc si n {\displaystyle n} est impair alors T n = h n − 1 ∘ T {\displaystyle T^{n}=h^{n-1}\circ T} , z n = 1 − i 2 n {\displaystyle z_{n}={\frac {1-\mathrm {i} }{2^{n}}}} et ( x n , y n ) = 1 2 n ( 1 , − 1 ) {\displaystyle (x_{n},y_{n})={\frac {1}{2^{n}}}(1,-1)} .
c) | z n | → 0 {\displaystyle |z_{n}|\to 0} donc M n → O {\displaystyle M_{n}\to O} .
On considère, dans le plan complexe, les n {\displaystyle n} points A k {\displaystyle A_{k}} , d'affixe z k = e i 2 k π n ( 1 ⩽ k ⩽ n ) {\displaystyle z_{k}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2k\pi }{n}}}\quad (1\leqslant k\leqslant n)} .
1° Exprimez z k {\displaystyle z_{k}} en fonction de z 1 {\displaystyle z_{1}} , pour tout entier k {\displaystyle k} .
2° Déterminez l'ensemble des points M {\displaystyle M} du plan tels que :
‖ ∑ k = 1 n M A k → ‖ = n {\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}{\overrightarrow {MA_{k}}}\right\|=n} .3° Déterminez l’ensemble des points M {\displaystyle M} du plan tels que :
∑ k = 1 n M A k 2 = 2 n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{MA_{k}}^{2}=2n} .
Solution
1° z k = z 1 k {\displaystyle z_{k}={z_{1}}^{k}} .
2° ∑ k = 1 n z k = z 1 1 − z 1 n 1 − z 1 = z 1 0 1 − z 1 = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}z_{k}=z_{1}{\frac {1-{z_{1}}^{n}}{1-z_{1}}}=z_{1}{\frac {0}{1-z_{1}}}=0} donc
∑ k = 1 n ( z k − z ) = − n z {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(z_{k}-z\right)=-nz}
et l'ensemble cherché est le cercle unité. 3° | z k − z | 2 = 1 + | z | 2 − 2 Re ( z k ¯ z ) {\displaystyle \left|z_{k}-z\right|^{2}=1+\left|z\right|^{2}-2\operatorname {Re} \left({\overline {z_{k}}}z\right)} donc
∑ k = 1 n | z k − z | 2 = n ( 1 + | z | 2 ) − 2 Re ( 0 ¯ z ) = n ( 1 + | z | 2 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}-z\right|^{2}=n\left(1+|z|^{2}\right)-2\operatorname {Re} \left({\bar {0}}z\right)=n\left(1+|z|^{2}\right)}
et l'ensemble des solutions est, à nouveau, le cercle unité.