Complexes et géométrie/Exercices/Suite de points

Suite de points
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Exercices no8
Leçon : Complexes et géométrie

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Étude de figures
Exo suiv. :Lieu géométrique
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Complexes et géométrie/Exercices/Suite de points
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Exercice 8-1 modifier

Dans le plan complexe   muni d'un repère orthonormal  , l'unité graphique étant 4 cm, on définit l'application   qui au point d'affixe   associe le point d'affixe

 , où  .

 Montrez que   admet exactement un point invariant  , dont vous donnerez l’affixe. Caractérisez géométriquement  .

 On définit dans   la suite   par :

 
a)  Construisez  ,  ,   et  .
b)  Pour tout entier  , on note   l'affixe de   et l'on pose :
 .
Déterminez un nombre complexe   tel que, pour tout entier  ,  .
Mettez   sous forme trigonométrique et déterminez un entier   strictement positif tel que  .
c)  Calculez   puis   en fonction de  . Calculez   et placez   sur le dessin.

Exercice 8-2 modifier

Le plan complexe   est muni d'un repère orthonormal  .

 Soit   la transformation du plan qui, à tout point d'affixe  , associe le point d'affixe  

a)  Montrez que   est la composée de deux transformations simples (une homothétie   et une réflexion  ) que l'on précisera.
b)  Quelle est la nature de   ?

 On considère la suite de points   d'affixes respectives   où :  

a)  Faites une figure (unité 4 cm), et placez-y  ,  ,   et  .
b)  Exprimez, en fonction de  ,   et les coordonnées   du point  .
c)  Calculez  . Le point   a-t-il une position limite quand   tend vers   ?

Exercice 8-3 modifier

On considère, dans le plan complexe, les   points  , d'affixe  .

 Exprimez   en fonction de  , pour tout entier  .

 Déterminez l'ensemble des points   du plan tels que :

 .

 Déterminez l’ensemble des points   du plan tels que :

 .