Complexes et géométrie/Exercices/Similitude

Similitude
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Exercices no6
Leçon : Complexes et géométrie

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Symétrie
Exo suiv. :Étude de figures
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Complexes et géométrie/Exercices/Similitude
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Exercice 6-1

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Ci-dessous on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation   qui à un point d'affixe   associe un point d'affixe  . Reconnaissez   et précisez ses éléments caractéristiques.

  .

  .

  .

  .

  .

  

Exercice 6-2

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Dans le plan orienté, on considère un carré   tel que l'angle   a pour mesure  .

On désigne par   et   les milieux respectifs des segments   et  .

Représentez ces points sur une figure.

On se propose d'étudier la similitude directe   telle que :

  et  .

 Indiquez le rapport et l’angle de  .

 Recherche du centre de   à l'aide des nombres complexes.

On choisit comme repère orthonormal direct  .
a)  Quelle est l'affixe de   ?
b)  Donnez l'écriture complexe de  .
c)  Déduisez-en les coordonnées du centre   de  .

Exercice 6-3

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Dans le plan complexe, on considère les points  ,   et   d'affixes respectives :

 ,   et  .

  est la transformation qui à tout point d'affixe   associe le point d'affixe   pour laquelle   et  .

 Déterminez   en fonction de  .

 Pouvez-vous déterminer   de telle sorte que   soit :

a)  Une translation ?
b)  Une rotation ?
c)  Une similitude directe d'angle   ?

Exercice 6-4

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Le plan est muni d'un repère orthonormé direct.

On considère le point   de coordonnées   et le point   de coordonnées  .

Soit   la similitude directe de centre  , d'angle   et de rapport  .

Soit   la similitude directe de centre  , d'angle   et de rapport  .

 Donnez l'écriture complexe de  , puis celle de  .

 a)  Déduisez-en l'écriture complexe de la transformation  .

b)  Quelle est la nature de   ? Précisez ses éléments caractéristiques.
c)  Soient   un point de coordonnées   et   le point  .
Exprimez les coordonnées   de   en fonction de   et  .

Exercice 6-5 (Conservation du barycentre)

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Soient   une similitude directe,   le barycentre de deux points pondérés  .

On pose  ,   et  .

En utilisant l'écriture complexe de   dans un repère orthonormal, prouvez que   est le barycentre de  .

Comment peut-on généraliser aux barycentres de   points ?

Exercice 6-6

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Dans le plan complexe, on considère deux similitudes directes   et  .

 Montrez que les transformées d'une même figure par   et par   se déduisent l'une de l'autre par une translation, notée  .

 On munit le plan d'un repère orthonormal direct   et l'on suppose que   a pour centre  , angle   et rapport  , et que   est une rotation de centre   et d'angle  .

Déterminez   de façon que le vecteur de   soit orthogonal à  .

Exercice 6-7

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Le plan est muni d'un repère orthonormal direct  . On considère les points :

  d'affixe  ,   d'affixe  ,   d'affixe  ,   et   tels que les quadrilatères   et   soient des carrés.

 Placez les points précédents dans le repère   et donnez les affixes des points   et  .

 Soit   la transformation du plan qui à tout point   d'affixe   fait correspondre le point   d'affixe  .

a)  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de  .
b)  Précisez les points   et  .
Déterminez l'image par   de la droite   et celle de la médiatrice du segment  .
c)  Exprimez, pour tout point   d'affixe  , l'affixe des vecteurs   et   en fonction de  .
Déduisez-en que   et, pour   distinct de  , montrez que  .

 Soit   le milieu du segment   et   le milieu de  .

Déterminez l'image de   par la rotation de centre   et d'angle  .

Exercice 6-8

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On considère, dans le plan complexe, les trois points   d'affixes respectives  .

Montrer qu'il existe une unique similitude directe   telle que   et  , puis déterminer son rapport, son angle et son centre.

Exercice 6-9

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  1. Mettre les nombres complexes   et   sous forme polaire.
  2. Déterminer une similitude directe   de centre   telle que  .
  3. Quels sont le rapport et l'angle de cette similitude ?

 

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