Complexes et géométrie/Exercices/Similitude
Exercice 6-1
modifierCi-dessous on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation qui à un point d'affixe associe un point d'affixe . Reconnaissez et précisez ses éléments caractéristiques.
1° .
Similitude directe de centre le point d'affixe , de rapport et d'angle .
2° .
Similitude directe de rapport , d'angle et de centre le point d'affixe .
3° .
. Rotation d'angle et de centre le point d'affixe .
4° .
. Similitude directe de centre , de rapport et d'angle .
5° .
Similitude directe de rapport , d'angle et de centre le point d'affixe .
6°
Similitude directe de rapport , d'angle et de centre le point d'affixe .
Exercice 6-2
modifierDans le plan orienté, on considère un carré tel que l'angle a pour mesure .
On désigne par et les milieux respectifs des segments et .
Représentez ces points sur une figure.
On se propose d'étudier la similitude directe telle que :
- et .
1° Indiquez le rapport et l’angle de .
2° Recherche du centre de à l'aide des nombres complexes.
- On choisit comme repère orthonormal direct .
- a) Quelle est l'affixe de ?
- b) Donnez l'écriture complexe de .
- c) Déduisez-en les coordonnées du centre de .
1° et .
2° a) .
- b) .
- c) .
Exercice 6-3
modifierDans le plan complexe, on considère les points , et d'affixes respectives :
- , et .
est la transformation qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe pour laquelle et .
1° Déterminez en fonction de .
2° Pouvez-vous déterminer de telle sorte que soit :
- a) Une translation ?
- b) Une rotation ?
- c) Une similitude directe d'angle ?
1° .
2° a) .
- b) , donc .
- c) Non car mais pour cette valeur, .
Exercice 6-4
modifierLe plan est muni d'un repère orthonormé direct.
On considère le point de coordonnées et le point de coordonnées .
Soit la similitude directe de centre , d'angle et de rapport .
Soit la similitude directe de centre , d'angle et de rapport .
1° Donnez l'écriture complexe de , puis celle de .
2° a) Déduisez-en l'écriture complexe de la transformation .
- b) Quelle est la nature de ? Précisez ses éléments caractéristiques.
- c) Soient un point de coordonnées et le point .
- Exprimez les coordonnées de en fonction de et .
1° .
- .
2° a)
- b) est la symétrie centrale dont le centre a pour affixe .
- c) , .
Exercice 6-5 (Conservation du barycentre)
modifierSoient une similitude directe, le barycentre de deux points pondérés .
On pose , et .
En utilisant l'écriture complexe de dans un repère orthonormal, prouvez que est le barycentre de .
Comment peut-on généraliser aux barycentres de points ?
L'écriture complexe de étant , l'affixe de est (avec des notations qui vont de soi) :
- .
On peut généraliser à points en imitant ce calcul (avec des notations plus lourdes) ou plus simplement, en invoquant l'associativité du barycentre.
Exercice 6-6
modifierDans le plan complexe, on considère deux similitudes directes et .
1° Montrez que les transformées d'une même figure par et par se déduisent l'une de l'autre par une translation, notée .
2° On munit le plan d'un repère orthonormal direct et l'on suppose que a pour centre , angle et rapport , et que est une rotation de centre et d'angle .
- Déterminez de façon que le vecteur de soit orthogonal à .
1° est une similitude directe de rapport et d'angle nul, c'est-à-dire une translation.
2° Notons , et l'affixe de . Les écritures complexes de et sont :
- et , donc a pour affixe
- , donc
- donc
- .
Exercice 6-7
modifierLe plan est muni d'un repère orthonormal direct . On considère les points :
- d'affixe , d'affixe , d'affixe , et tels que les quadrilatères et soient des carrés.
1° Placez les points précédents dans le repère et donnez les affixes des points et .
2° Soit la transformation du plan qui à tout point d'affixe fait correspondre le point d'affixe .
- a) Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de .
- b) Précisez les points et .
- Déterminez l'image par de la droite et celle de la médiatrice du segment .
- c) Exprimez, pour tout point d'affixe , l'affixe des vecteurs et en fonction de .
- Déduisez-en que et, pour distinct de , montrez que .
3° Soit le milieu du segment et le milieu de .
- Déterminez l'image de par la rotation de centre et d'angle .
2° a) est la similitude directe de rapport , d'angle et de centre .
- b) et , donc l'image de la droite (CA) est la droite (CO) et celle de la médiatrice du segment est la médiatrice du segment .
- c) L'affixe de est et celle de est . Le quotient est , de module et d'argument .
3° et donc l'image de par cette rotation a pour affixe . C'est donc .
Exercice 6-8
modifierOn considère, dans le plan complexe, les trois points d'affixes respectives .
Montrer qu'il existe une unique similitude directe telle que et , puis déterminer son rapport, son angle et son centre.
On résout et l'on trouve une unique solution donc une unique :
,
.
Rapport et angle sont le module et l'argument de , donc rapport et angle .
Le centre est .
Exercice 6-9
modifier- Mettre les nombres complexes et sous forme polaire.
- Déterminer une similitude directe de centre telle que .
- Quels sont le rapport et l'angle de cette similitude ?
- .
. - La forme générale d'une similitude directe est . Son centre est lorsque est nul. Elle envoie de plus sur si , c'est-à-dire . (Si l'on choisit, comme argument de , plutôt que , on trouve, comme argument de , , qui est égal à .)
- Le rapport est , l'angle est modulo (égal aussi à modulo ).
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